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1、第六章定积分本章将从实际问题入手,引入定积分的概念,在此基础上讨论定积分的计算方法.数学推理的直观性设是连续性函数,计算由四条曲线所围成的阴影图形的面积.直观上可以这样考虑,做一个包括该图形在内的矩形,比如矩形AabB,现在向AabB内部大量随机投点,可以统计落进阴影内部随机点的频率,即落进阴影部分的点数和落进矩形总点数之比例.该频率可以作为阴影部分面积和矩形AabB面积之比近似值.由于AabB的面积容易算出,所以阴影部分的面积,即积分的值便可以近似求出.这个直观想法,运用电子计算机可以变成现实,它的理论基础便是概念率中大数定律
2、.现在通过概率论的想法构造模型从而实现数值计算的方法,随着电子计算机的发展,已形成一种新的计算方法——概率计算方法,亦称蒙特卡洛方法.该方法在许多方面都发挥了很大作用.第一节定积分的概念与性质一、引例讨论由连续曲线,直线及轴所围成图形的面积,该图形称为曲边梯形（如图6—1）.要精确地计算出曲边梯形的面积,我们采用如下的处理方法:(1)分割将区间[任意的分成n个小区间（记）:,,,…,,…,.每个小区间的长度分别记为,,…,,…,,这样就把图6—2所示的曲边梯形,分割成了n个小曲边梯形.(2)近似代替在每个小区间上任意取一点（=1
3、,2,…,n）图6—1作乘积,显然,第个小曲边梯形面积,可近似的表示为（=1,2,…,n）(3)求和用所有小曲边梯形面积近似的代替整个梯形的面积,即（4）取极限记,当趋向于零时,的极限就是,因此有图6—2事实上,许多问题的解决,如:变速直线运动的路程的计算,变力作功的计算,也常利用上述步骤和方法来处理.即通过“分割——近似代替——求和——取极限”的方法,把所求的量归结为计算具有同一结构的和数的极限.我们抽去问题的实际意义便可以得到定积分的定义.二、定积分的定义定义设函数在区间[]上有界,在中任意任意插入若干分点,将区间[]分成个
4、小区间,,,…,,…,[x,x].各个小区间的长度依次为.在每个小区间[x,x]上任取一点,作函数值与小区间长度的乘积,并作出和（1）记,如果不论区间[]的分法如何,也不论小区间上的点怎样选取,只要时,和的极限值存在,则称这个极限值为函数在区间[]上的定积分.记作.即=（2）其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限.[]叫做积分区间.按照定积分的定义,容易看出曲边梯形的面积,就是曲边所对应的函数在[]上的定积分,即下面指出几点应注意的事项:（1）定积分仅与被积函数与积分区间[]有关的一个确定的数
5、,与用什么字母表示积分积分变量的无关,即==（2）函数在[]上满足怎样的条件,在[]上一定可积呢？我们给出两个充分条件定理1设在[]上连续,则在[]上可积.定理2设在[]上有界且仅有有限个间断点,则可积.在[]上可积.三、定积分的几何意义有定积分的定义容易看出,定级分的几何意义就是曲线,直线与轴所围成的曲边梯形的面积（图6—3）图6—3图6—3图6—3当时,由（2）式易见,积分,这时的定积分表示曲边梯形面积的负值.（图6—3）对于在[]上函数有时取正值,有时取负值时（图6—3）,定积分表示在轴上方部分与在轴下方部分的各曲边梯形面
6、积的代数和,即=四、定积分的性质为了以后计算方便及应用方便,对定积分作如下规定:(1)当时,=0(2)当时,=以上规定的合理性,从定积分定义中可直接得出.我们从定积分的定义和几何意义入手考察容易发现,定积分还具有以下几个基本性质,在此假设各性质中所引出的定积分都是存在的.性质1常数因子可提到积分号外,即=性质2函数代数和的积分等于函数代数和的积分,即=性质3对于任意三个数,恒有=+上述性质,可根据定积分定义与极限运算性质加以证明.性质4在区间[]上,若,则由于因为,故,且,所以上式和式的每一项都是非负的,从而它的极限也是非负的,
7、故有由此推得性质5如果在区间[]上则由于对任意分割及任意的点均有所以即性质6（积分中值定理）设函数在区间[]上连续,则在该区间至少有一点存在,使得=.因为在闭区间[]上连续,所以它有最大值和最小值,有性质5可知.这就是说,数值介于函数的最大值和最小值之间,有闭区间上连续函数性质可知,在区间[]上至少存在一点,使得=从而得到=积分中值定理有如下的几何解释:在闭区间[]上曲边梯形的面积等于同一底边,而高为的矩形面积.（如图6—4所示）我们把叫作函数在区间[]上的平均值,显然它是算术平均值概念的推广.例1比较与的大小.解因为时,有有性
8、质4可知:例2估计积分值.如图6—4解在区间上,,由性质5可知即例3已知圆心在坐标原点,半径为的上半圆周的曲线方程为,求定积分.解根据非负函数定积分的几何意义,等于由曲线、轴、直线、围成的面积A（见图6-5）。即图6-5习题6—11.用定积分的几何意义说明：（1
