导数在函数中的应用(1)

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1、衡阳个性化教育倡导者第十一讲导数在函数中的应用教学目标：1、了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).一、知识回顾课前热身知识点1、函数的单调性与导数设函数y＝f(x)在某区间(a，b)内可导，若x∈(a，b)，f′(x)＞0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数；若x∈(a，b)，f′(x)＜0，则f(x)在区间(a，b)内为减函数；若x∈(a，b)，f′(x)＝0，

2、则f(x)在区间(a，b)内为常数函数知识点2、函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做

3、函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．[探究]　导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．知识点3、函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数

4、y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[探究]　函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大

5、(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．衡阳个性化教育倡导者二、例题辨析推陈出新例1、已知函数f(x)＝ax＋xlnx，且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)．(1)求实数a的值；(2)设g(x)＝，求g(x)的单调区间；(3)当m>n>1(m，n∈Z)时，证明：>.[解答]　(1)f(x)＝ax＋xlnx，f′(x)＝a＋1＋lnx，依题意f′＝a＝1，所以a＝1.(2)因为g(x)＝＝，所以g′(x)＝.设φ(x)＝x－1－lnx，则φ′(x)

6、＝1－.当x>1时，φ′(x)＝1－>0，φ(x)是增函数，对∀x>1，φ(x)>φ(1)＝0，即当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上为增函数；当0φ(1)＝0，即当00，故g(x)在(0,1)上为增函数．所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，＋∞)．(3)要证>，即证－>lnn－lnm，即lnm>lnn，>.(*)因为m>n>1，由(2)知，g(m)>g(n)，故(*)式成立，所以

7、>.变式练习1．已知函数f(x)＝－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．解：(1)若a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋lnx，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－4x＋3＝＝(x>0)．当f′(x)>0，x∈(0,1)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．当f′(x)<0，x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)

8、．(2)f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)衡阳个性化教育倡导者＝－4x＋≤0，即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1,2]上恒成立．即≥4x－或≤4x－.令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，解得a<0或0