导数偏导数及其应用

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1、第一讲导数、偏导数及其应用(第二次作业)二、求多元函数的偏导数1．具体函数的偏导数30．（1）设，则=．（2）设，则=．（3）设，则=．（4）设，则=．（5）设，则=．31．设则().(A)(B)(C)(D)【答】B2．抽象函数的偏导数32．设，其中为可导函数，求．33．设，其中具有二阶连续偏导数，求．34．设，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶导数，求．35．设函数具有二阶连续导数，满足方程，求．36．设变换可将方程简化为,求常数.3．一个方程确定的隐函数的（偏）导数37．设，其中为可导函数，求．38．设，

2、求．39．设由方程确定，求的值．[92-3]【答】．740．证明由方程所确定的函数满足．41．设是由确定的二元函数，求.4．由方程组确定的隐函数的（偏）导数42．设，其中都是可微函数，求．43．设是由方程组确定的函数，求.【答】.5．函数的全微分44．当时，函数的全微分=．【答】45．由方程所确定的函数在点处的全微分=．【答】46．设函数在点处的两个偏导数都存在，则（）．（A）函数在点处连续（B）函数在点处可微（C）一元函数在点处可导（D）以上答案都不对【答】C47．函数在点处的两个偏导数都存在是函数在点处

3、连续的（）.（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要的条件【答】D48．函数在点处的两个偏导数都存在是函数在点处可微的（）.（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要的条件【答】B49．设函数，则在点处（）.(A)偏导数不存在(B)偏导数存在但不可微(C)可微但偏导数不连续(D)偏导数连续【答】B50．设函数，则在点处（）.7（A）不存在（B）连续（C）可微（D）不连续【答】C6、方向导数与梯度51．已知是曲线在点处的切线向量，且它与与轴正向夹角为锐角，

4、求函数在点处沿方向向量的方向导数.【答】．52．设为抛物线在点(1,2)处与轴正方向夹角为锐角的单位切向量，则函数在点(1,2)处沿方向的方向导数为．【答】53．已知是空间曲线：在点处的切线向量，且它与轴正向夹角为锐角，求函数在点处沿方向向量的方向导数.【答】．54．求函数在点处沿曲线在该点的外法线方向的方向导数.【答】．55．函数在点处的最大方向导数是.【答】三、一元函数导数的应用1．求曲线的切线与法线56．（1）求曲线在点处的切线与法线的方程．（2）过点作曲线的切线，求此切线方程．57．已知曲线（为常数

5、）与在点处有公共切线，求的值．58．求极坐标方程的图形对应处的切线方程．59．若曲线和在点处相切，其中是常数，则（）.（A）（B）（C）（D）60．设为可导函数，它在的某邻域内满足，其中是当时比高阶的无穷小量，则曲线在点处的切线方程为（）.7(A)(B)(C)(D)61．设函数的图形在点处的切线与轴的交点坐标为，试求.1．一元函数的单调性与极值62．讨论函数的单调区间与极值．63．设，则在点处（）.（A）的导数存在，且（B）取得极大值（C）取得极小值（D）的导数不存在64．已知常数，问方程有几个实数根？2．

6、一元函数图形的凹凸性65．求曲线的凹凸区间与拐点．66．用导数知识画出函数的图形．67．如果，且在内，，则在内，（）．（A）（B）（C）（D）oabxy第68题图68．设函数在内连续，其导函数的图形如右，记为函数的极值点个数，为图形的拐点个数，则（）．（A）（B）（C）（D）69．设是正值连续函数，，，证明函数在区间上的图形是向上凹的．70．先将函数展开成带佩亚诺余项的7阶麦克劳林公式，再求，并问点(0,0)是否为该函数图形的拐点？3．函数的最大值与最小值CADB炼油厂油井第71题图油井到炼油厂的输油管道7

7、1．用输油管把离岸12公里的一座油井和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来（如图5.1.8），如果水下输油管的铺设成本为每公里50万元，陆地输油管的铺设成本为每公里30万元.问应如何铺设水下和陆地输油管，使总的连接费用最小？【答】最小的连接成本为1080万元，最优的连接方案为：从炼油厂沿岸在陆地上铺设11公里到点，然后在水下铺设15公里的管道.72．某种疾病的传播模型为，其中P是总人口数，是固定常数，是到时刻感染该病的总人数，求（1）该种疾病的传播速率；（2）当传播速率最大时，感染该病的总人数．773．三角形

8、由围成，在三角形内作矩形ABCD，其一边AD与轴重合，另两顶点B、C分别在上，求此长方形面积的最大值．1．用洛必达法则及泰勒公式求不定型极限74．设在处二阶可导，求极限．75．计算下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）76．计算极限．77．设在点的某邻域内可导，且，求（1）；（2）．78．设，则（）．（A）（B）（C）（D）【答】（A）2．变化率与相关变化率79．一容器的侧面和底面分别由曲