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1、上一页目录下一页退出§7.3偏导数及其在经济中的应用一.偏导数的定义与计算定义1设函数在点的某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有改变量时，相应地，函数有改变量,如果存在,则称在点处对有x的偏导数,记为或上一页目录下一页退出同理,可定义对y的偏导数还可使用以下记号上一页目录下一页退出定义2如果函数在区域D内每一点(x，y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x,y的函数，称为函数对x的偏导函数，记作,，，，即同理，可定义上一页目录下一页退出例1求在点处的偏导数.解所以上一页目录下一页退出例2求的偏导数.注意到对y求偏导数的时候,x始终不变,所以我们可以先
2、把x的值代入,简化运算.解上一页目录下一页退出例3求的偏导数.解,例4求的偏导数.解由对称性可知上一页目录下一页退出二.偏导数的几何意义偏导数的几何意义可直接由一元函数导数的几何意义得出，由于就是在的导数，而在几何上可以看作是平面截曲面得到的截线.因此，的几何意义是:截线在点的切线对x轴的斜率，如下图所示.图7-18同理,可得的几何意义.上一页目录下一页退出三.偏导数与连续性的关系.在一元函数中,我们知道函数可导必连续,那么在二元函数中,偏导数与连续性有什么样的关系呢?例7考察函数在点(0,0)处的偏导数与连续性.上一页目录下一页退出解由第二节的例4我们
3、知道f(x,y)在(0,0)处没有极限,所以不连续.由此我们可知道,偏导数存在并不能推出函数在该点是连续的.上一页目录下一页退出四.高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数和，如果这两个函数又存在偏导数，则称之为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同,共有下列四种不同的二阶偏导数(等号右边为记号):上一页目录下一页退出其中与称为二阶混合偏导数.类似地，可以定义三阶、四阶、……、n阶偏导数.把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例8设求二阶偏导数.解,,.上一页目录下一页退出定理1如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数
4、及在区域D内连续，则在该区域内有.例9验证函数满足拉普拉斯方程.上一页目录下一页退出证令,则,.于是由函数关于自变量的对称性，可推断上一页目录下一页退出五.偏导数在经济中的应用1.边际分析设函数z=f(x,y)在点的偏导数存在，称为函数z=f(x,y)在点处对x的边际，称是对x的边际函数.类似地，称为z=f(x,y)在点处对y的边际，称是对y的边际函数.上一页目录下一页退出边际的经济含义是:在点处,当y保持不变而x多生产一个单位,z=f(x,y)近似地改变个单位.例10某汽车生产商生产A,B两种型号的小车，其日产量分别用x,y(单位：百辆)表示，总成本(单位
5、：百万元)为求当x=5,y=3时，两种型号的小车的边际成本，并解释其经济含义.上一页目录下一页退出解总成本函数的偏导数当x=5,y=3时，A型的小车边际成本为B型的小车边际成本为其经济含义是：当A型小车日产量为5百辆，B型小车日产量为3百辆的条件下.上一页目录下一页退出(1)如果B型小车日产量不变而A型小车日产量每增加1百辆，则总成本大约增加53百万元；(2)如果A型小车日产量不变而B型小车日产量每增加1百辆，则总成本大约增加17百万元.2.偏弹性分析设函数z=f(x,y)在点的偏导数存在，z=f(x,y)对x的偏改变量记为称的相对改变量与自变量x的相对改变
6、量之比上一页目录下一页退出为函数f(x,y)在点处对x从到两点间的弹性.令Δx→0，则式上式的极限称为f(x,y)在点处对x的偏弹性，记为，即对x偏导数的经济含义是：在处，当y不变而x产生1%的改变时，f(x,y)近似地改变%.上一页目录下一页退出类似地，可定义f(x,y)在点处对y的偏弹性，记为，即称为f(x,y)分别对x和y的偏弹性函数.上一页目录下一页退出Ⅰ需求偏弹性分析设某产品的需求量Q=Q(p,y),其中p为该产品的价格,y为消费者收入，则称为需求Q对价格p的偏弹性.为需求Q对收入y的偏弹性.上一页目录下一页退出例11设某城市计划建设一批经济住房，
7、如果价格(单位：百元/平方米)为p，需求量(单位：百间)为Q，当地居民年均收入(单位：万元)为y，根据分析调研，得到需求函数为求当p=30,y=3时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.解,上一页目录下一页退出,又因此，需求Q对价格p和收入y的偏弹性分别为,其经济含义是：当价格定在每平方米3000元，人均年收入3万元的条件下，若价格每平方米提高30元而人均年收入不变，则需求量将减少9%；若价格不变而人均年收入增加100元，则需求量将增加9%.上一页目录下一页退出Ⅱ交叉弹性分析设有A，B两种相关的商品，价格分别为和，消费者对这两种商品的需求量和由
8、这两种商品的价格决定，需求函数分别表示为及对需求函数
