常数项级数的审敛法(1)

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1、§11．1常数项级数的概念和性质§11.2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数:各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界.定理2(比较审敛法)设和都是正项级数,且un£vn(n=1,2,×××).若级数收敛,则级数收敛;反之,若级数发散,则级数发散.定理2(比较审敛法)设和都是正项级数,且un£vn(k>0,"n³N).若收敛,则收敛;若发散,则发散.设Sun和Svn都是正项级数,且un£kvn(k>0,"n³N).若级数Svn收敛,则级数Sun收敛;反之,若级数Sun发散,则级数Svn发散.证设级数收敛于

2、和s,则级数的部分和sn=u1+u2+×××+un£v1+v2+×××+vn£s(n=1,2,×××),即部分和数列{sn}有界,由定理1知级数收敛.反之,设级数发散,则级数必发散.因为若级数收敛,由上已证明的结论,将有级数也收敛,与假设矛盾.证仅就un£vn(n=1,2,×××)情形证明.设级数Svn收敛,其和为s,则级数Sun的部分和11§11．1常数项级数的概念和性质sn=u1+u2+×××+un£v1+v2+×××+vn£s(n=1,2,×××),即部分和数列{sn}有界.因此级数Sun收敛.反之,设级数Sun发散,则级数Svn必发散.因为若级数Svn收敛,由上已

3、证明的结论,级数Sun也收敛,与假设矛盾.推论设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数N,使当n³N时有un£kvn(k>0)成立,则级数收敛;如果级数发散,且当n³N时有un³kvn(k>0)成立,则级数发散.例1讨论p-级数的收敛性,其中常数p>0.例1讨论p-级数的收敛性.解设p£1.这时,而调和级数发散,由比较审敛法知,当p£1时级数发散.设p>1.此时有(n=2,3,×××).对于级数,其部分和.11§11．1常数项级数的概念和性质因为.所以级数收敛.从而根据比较审敛法的推论1可知,级数当p>1时收敛.综上所述,p-级数当p>1时收敛,当p£1时发散.解当p

4、£1时,,而调和级数发散,由比较审敛法知,当p£1时级数发散.当p>1时,(n=2,3,×××).而级数是收敛的,根据比较审敛法的推论可知,级数当p>1时收敛.提示:级数的部分和为.因为,所以级数收敛.11§11．1常数项级数的概念和性质p-级数的收敛性:p-级数当p>1时收敛,当p£1时发散.例2证明级数是发散的.证因为,而级数是发散的,根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3(比较审敛法的极限形式)设和都是正项级数,如果(0

5、敛;(2)如果,且级数发散,则级数发散.定理3(比较审敛法的极限形式)设Sun和Svn都是正项级数,(1)如果lim(un/vn)=l(0£l<+¥),且Svn收敛,则Sun收敛;(2)如果lim(un/vn)=l(0N时,有不等式,即,再根据比较审敛法的推论1,即得所要证的结论.例3判别级数的收敛性.解因为,而级数发散,根据比较审敛法的极限形式,级数发散.例4判别级数的收敛性.解因为,而级数收敛,根据比较审敛法的极限形式,级数收敛.定理4(比值审敛

6、法,达朗贝尔判别法)若正项级数的后项与前项之比值的极限等于r:,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散;当r=1时级数可能收敛也可能发散.11§11．1常数项级数的概念和性质定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)若正项级数满足,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散.当r=1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)设为正项级数,如果,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散;当r=1时级数可能收敛也可能发散.例5证明级数是收敛的.解因为,根据比值审敛法可知所给级数收敛.例6判别级数的收敛性.解因为,根据比值审敛法可知所给级数发散.

7、例7判别级数的收敛性.解.11§11．1常数项级数的概念和性质这时r=1,比值审敛法失效,必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为,而级数收敛,因此由比较审敛法可知所给级数收敛.解因为,而级数收敛,因此由比较审敛法可知所给级数收敛.提示:,比值审敛法失效.因为,而级数收敛,因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理5(根值审敛法,柯西判别法)设是正项级数,如果它的一般项un的n次根的极限等于r:,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散;当r=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法,柯西判别法)若正项级数满足,则当r<