桂祖华微积分三定理

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1、桂祖华微积分三定理（第一定理-桂氏积分定理） (2013-10-0316:53:28)桂祖华微积分三定理    “桂祖华微积分三定理”分别是指“第一定理-桂氏积分定理”；“第二定理-桂氏多中心泰勒定理”；“第三定理-桂氏多中心牛顿定理”。这些全新的微积分理论全面改写了300多年来被世界数学界视为经典的微积分理论，是本人埋头数学研究数十年所究取得的重大理论突破，必将极大地推动现代数学基础理论的新发展。第一定理  桂氏积分定理1  已知结果牛顿--莱布尼兹定理(即微积分基本定理)  设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，

2、则∫ab f(x)dx=F(b)－F(a),其中F(x)是函数f(x)的任意一个原函数．2  问题提出  如何去寻找上述原函数F(x)的新方法？3  负导函数（1）可导函数列 设函数列{Fn(x)}（n=1,2,3,…）在闭区间[a,b]上满足如下三个条件：（i）Fn(x)可导　（可导性）．（ii）dFn(x) /dx=Fn’(x)=Fn+1(x)　（递推性）．（iii）所有Fn(x)只变动足标n，不变动变量x，它们都有相同的函数形式（不变形式性），{Fn(x)}（n=1,2,3,…）称为可导函数列．(2) n阶原函数

3、 设两个函数f(x)和F(x)在区间D(x)={x

4、

5、X0

6、<δ, X0≡x－x0 }上满足dnF(x)/dxn =f(x)（n=1,2,…），函数f(x)称为函数F(x)的n阶导函数（或导数）;函数F(x)称为函数f(x)的n阶原函数.当n=1时, 函数f(x)和函数F(x)分别称为F(x)的导函数和f(x)的原函数.(3) k阶负导函数 设函数{f(n)(x)} （n=1,2,3,…）可导函数列,令f(-k)(x)（k=1, 2, 3,…）为k阶负导函数.(4) 任意阶负导函数的存在性 一般情况下(如初等函数)，函

7、数f(x)在区间D(x)={x

8、

9、X0

10、<δ}上具有任意阶导函数，则存在可导的任意阶负导函数(5) 负导函数定理 设可导函数列{f(n)(x)}（n=1,2,3,…）, f(－1)(x)可导，且f(0)(x)=f(x)时，则函数f(x) 的一阶负导函数（简称负导数）f(－1)(x)与函数f(x) 的任意原函数F(x)相差一个常数．(6) 负导函数一例 设f(x)=xe －x ,计算可得 f(n)(x)=（－1）n+1（n－x）e －x ,{f(n)(x)}为可导函数列,f (－1)(x)=－（1+x）e －x可导,f 

11、(0)(x)=（－1）1（－x）e －x =f(x).(7) 特殊原函数 寻找函数f(x)的一阶负导函数f(－1)（x）与通常的原函数F(x)的求法是完全不同的方法．相对来说，前者方法要比后者有时是更为容易，新方法是简单的、直接的、有效的和别具一格的，由此我们可以得到许多有趣的应用.(8)不定积分一例∫e ax cos(bx+c)dx=（a2+b2）－1/2 eax cos(bx+c－φ)+C,其中φ=arccos[a/（a2+b2）1/2]记f(x)=e ax cos(bx+c)，可得f(n)(x)=（a2+b2）n

12、/2 e ax cos(bx+c+nφ), {f(n)(x)}为可导函数列,f (－1)(x)=（a2+b2）－1/2 eax cos(bx+c－φ)可导, f(0)(x)=f(x)，(9) k阶负导函数 设可导函数列{f(n)(x)}（n=1,2,3,…）,则函数f(x) 的可导k阶负导函数f(-k)(x)与函数f(x) 的任意k（=1, 2,3,…）阶原函数相差一个任意（k－1）次多项式;4 桂氏积分定理　设在闭区间[a,b]上的可导函数列{f(n)(x)}（n=1,2,3,…）, f(－1)(x)可导，且f(0)

13、(x)=f(x)时，则 ∫a bf(x)dx=f (－1)(b)－f (－1)(a),(1) 定积分一例 取f（x）=sinx，f(n)（x）=sin（x+nπ/2）, f (－1)（x）=sin（x－nπ/2）可导,f (0)（x）=sin（x－0·π/2）=sinx=f(x)∫a b sinxdx=sinx (－1)(x)

14、 a b =sin（x－π/2）

15、 a b =sin（b－π/2）－sin（a－π/2）=cosa－cosb(2)桂氏积分定理的推广　设在闭区间[a,b]上的{F(n)(x)}为可导函数列，即F

16、n’(x)=Fn+1(x)（n=k-h-1,k-h,…）, Fk-h-1 (x)在闭区间[a,b]内具有（h+1）阶导函数，则∫a bdx∫a xdx…∫ax Fk (x)dx=Fk-h-1 (b)－∑i=0 h Fk-h-1+i (a)(b－a)i /i![（h+1）个积分记号].特别地,当Fn (x)=f (n)（x）;k=0