极限的概念函数的连续性

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1、第二章.极限概念函数的连续性如果说对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。对于极限的观念，最为关键的问题是，极限的模糊形象是谁都有的，但是如何定量地加以描述，从而是可以应用来作为一般的判别标准的呢？这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限。数数是人类最原始的数学活动，应该说，对于数数我们没有更多的数学方面的分析可言的了，或者说至少从数学的角度而言，数数是一个足够清楚而明

2、确的行为。因此我们引入极限这么一个抽象概念就从数数开始。最为主要的一种事物运动变化的方式，是一种给人以连续性的感觉的变化。对于这样的变化方式，我们可以有两种研究方式，一是属于物理学范畴的研究方式，就是说去探讨事物变化发展中表现出来的连续性，究竟是一个什么样的过程。另一种研究方式是并不考虑所谓连续性究竟是什么回事，而是首先人为地定义一种明确的可以定量处理的连续性，使得我们对于一般事物变化发展的描述都具有这种连续性的特点，并且总是在这种应用当中，随时对实际过程与理论推理进行验证与对比，从而得到使用这种人为连续性的观念的合理性，一直到实

3、验表明再也不能使用这个人为前提为止。确实，我们应该学会承认，当我们对客观事物进行描述与分析时，肯定是要基于一些前提条件或者说假设的，问题的关键，不是在于我们是不是应该首先证明了这些前提的正确性，才能再来进行随后的工作，而是承认任何的理论工作都只是相对的，是否有用必须经过实验的证明才能决定。现在我们的主要工作就是建立一个关于日常生活的连续性的严格表述。而这个概念是可以从我们进行最为简单的数数开始的。设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时，每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件

4、工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：，或者简单地记成{。显然，可以想象，随着我们的数数，这个数列的取值，就会发生某种变化，（当然，对于总是取同一个数值的数列，我们没有什么兴趣。）这种变化的过程应该说是相当明确而没有任何含糊与抽象的地方。然后，我们来规定一种具有特定规律的数列变化过程：对于数列，假设存在一个确定的常数a，现在我们考虑变量（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素，使得在这个元素后面的所有的数列元素，

5、都使得相应的变量的数值小于，换一句话来说，就是，对于任意的，总是存在一个N，使得当n>N时，总是有成立，这时我们就把a称为数列的极限。并且称数列收敛于极限a。我们使用记号来表示这点。否则我们就说数列{是发散的。这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个：1。数值是任意的。实际上也就是说，只要存在一个的数值不满足定义的条件，就不能说数列收敛于极限a。这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的都进行检验，才能得到最后的判断呢？在实际问题当中，由

6、于我们的目的是希望知道变量是否越来越小，因此一般总是只要取大于0，并且足够小（以后我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，记住这点并非是必要的，而是方便的），当然只是这样还不能减少我们对的任意取值进行验证的任务，关键在于，我们一般所处理的数列，总是按照某种特定的规律来变化或者说是按照某种特定的规律来定义的，这样一般从这个数列的变化规律本身，就可以足够使得我们进行判断，并且还有可能找到一个特定的由决定的N的值，使得条件得到满足，或者是可以找到反例。实际上本章的最困难的地方就是如何判断一个数列是否存在极限，如果存在的话，又如何得到

7、这个极限。这里最重要的方法是应用不等式。不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。1．1．满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N的n值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从生成数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。那么究竟所谓生成数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。这个

8、函数的表达式称为通项的通项公式。不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，而是同时由变量n和第n项之前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较复杂，我们不过多的涉及。实际上对于上面的第二点，如果我们把希望得到的结论放弱一点，就