极限的概念_函数的连续性详解.doc

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1、.第二章.极限概念函数的连续性对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法）设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工

2、作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：，或者简单地记成{。观察这个数列取值变化，有的数列变化具有下面的变化规律：对于数列，假设存在一个确定的常数a，现在我们考虑变量（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素，使得在这个元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量的值小于，换一句话来说，对于任意的，总是存在一个N，当n>N时，总是有成立这时我们就把a称为数列的极限。并且称数列收敛于极限a。我们使用记号来表示该数列极限。否则我们就说数列{是发散的。..这就

3、是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个：1。数值是任意的。就是说只要存在一个的数值不满足定义的条件，就不能说数列收敛于极限a。这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的都进行检验，才能得到最后的判断呢？不是的,在实际问题中，由于我们的目的是希望知道变量是否越来越小，一般只要取大于0，并且足够小（我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，），当然这样不能减少我们对的任意取值进行验证的任务，但是我们所处理的数列，总是按照某种特定的规律来变化，一般从这个数列的变化规律本身就可以

4、找到由决定的N的值，使得小于，或者是找到反例。从而实现对所有可能的们进行判断.不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。2.满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N的n值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。那么数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。这个函数的表达式称为

5、通项的通项公式。不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，有时由变量n和第n项之前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较复杂，我们不过多的涉及。利用极限的定义和应用不等式（绝对值不等式.）对一个数列进行检验是否存在极限，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。答疑解难。1．数列的极限的定义当中，与N的取值是一一对应的吗？[答]：不是。初学者对于极限的定义的叙述往往理解不够深入，并且常常产生歧义，这个问题就是最为典型的。尽管在根据定义进行具体的极限分析时，常常是由推出N的表达式，但这并

6、不是意味着这两个变量之间具有一定的函数关系，这两个变量之间确实是具有一定的关系，但决不是函数的关系，而是一种两个区间的相互影响与决定的关系，实际上，我们给出一个的意思，实际上是给出了一个区间，同样由此而得到的N，也是一个区间的概念，而不是两个数值变量的关系，因此N的求法是很多形式的，实际问题当中，我们只是选择了最为方便的形式而已。 ..那么在不知道预先极限值时，有没有方法验证数列是否有极限，这就是相当重要的柯西收敛原理：我们说数列{收敛，它的充要条件是：对于任意的>0，总是存在正整数N，使得对于任意的自然数p和n>0，有成立。可以看到，在这里对数列所进行的检验与极

7、限的定义当中对数列所进行的检验是存在一点差异的，就是在这里对数列进行检验，我们并不需要知道这个数列的极限a究竟是多少，而通过检验，我们也只是知道这个极限是否存在极限，但求不出极限是多少。而在极限的定义当中，要对一个数列进行检验，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。柯西原理是更为方便的验证是否有极限方法..其他判别极限存在定理（1）数列{以a为极限的另一个说法，或者说一个充要条件是：对于数列{的任意一个子数列{都以a为极限。我们只要能够在一个数列里，构造出一个发散的子数列，或者是构造出两个具有不同收敛极限

8、的子数列，