艾麦提江·吾拉木江(定积分的应用

《艾麦提江·吾拉木江(定积分的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS编号学士学位论文定积分的应用学生姓名：艾麦提江·吾拉木江学号：20080101037系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008-1班指导教师：热米拉·阿不都克依木完成日期：2013年3月28日学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要定积分是一元函数积分学中的另一个基本概念，它是从大量的实际问题中抽象出来的在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，该论文主要讨论从几何问题物理问题出发叙述应用定积分解决各种问题的优越性。关键词：微元；体积；面积；参数方程；重心；旋转体；变化率为；学士学位论文BACHELOR’STHESIS目录中

2、文摘要21.定积分的应用11.1定积分在几何方面的应用11.1.1微元法11.1.2用定积分求平面图形的面积21.2极坐标下平面图形的面积72.应用定积分求旋转体的体积82.1.1旋转体体积93.定积分在物理上的应用123.1重心133.2变力做功153.3电学上的应用154.定积分在经济中的应用16总结16参考文献18致谢19学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言定积分在数学，物理上有好多个应用比如：求曲边梯形的面积，旋转体的体积，物体的重心，变力做功，转动惯量等等，为什么把这些问题应用定积分来计算？答案是很简单这些问题都与求和有关系，但是求和没那么容易事所以必须用定

3、积分这工具来解决。1.定积分的应用定积分在几何，物理及经济上有广泛的应用。首先我们介绍以下定积分这个概念。定义：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若>0，总>0，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要<，就有<，则称函数在区间上可积或数称为在上的定积分，记作下面我们介绍以下定积分若干方面的应用。1.1定积分在几何方面的应用我们用什么样的方法把定积分应用在几何方面的问题？我们引入微元法这一概念。1.1.1微元法以曲边梯形面积为列，如图曲边梯形选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间在区间上任取一个小区间并记为。1学士学位论文BACHELOR’STHESIS图1-1

4、以点处的函数值为高，以为底的矩形面积作为其中称为面积微元，记为于是面积为1.1.2用定积分求平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积。设函数在上连续求由曲线及直线（<)所围成图形的面积。分析：在上任取小区间设此小区间上的面积为，它近似于高为底为的小矩形面积，如图1-2所示，从而的面积微元为1学士学位论文BACHELOR’STHESIS以为被积表达式，在区间作定积分图1-2就是所求图形的面积在这个公式中无论曲线在轴的上方与下方都成立，只要在下方即可。例求由曲线所围成平面图形的面积。分析：先对曲线进行分析，显然曲线有无穷多个零点。且。3学士学位论文BACHELOR’STHESIS时，

5、我们可以画出草图如图1-3.进一步分析可知：时，，时，.图1-3所求面积解：由于可得4学士学位论文BACHELOR’STHESIS求由曲线及直线所围成图形面积在区间上任取小区间，设此小区间上的面积为，则近似于高为，低为的小矩形面积，从而得面积微元于是所求面积为。例2．求由叁数方程所围成图形的面积，分析：对参数方程所围图形，与直角坐标图形相似，必须讨论其所给曲线的几何特征，尔后确定积分变量被积函数及积分区间。解：函数为周期（针对变量t而言）函数，因而在直角坐标系中只须考虑0≤t≤2范围内的叁数方程即可，原方程可变形为，0≤t≤2.时，，↗，↗此时，曲线单升，至最右点为。时，↘，↗，

6、曲线至最左点为，↘，↘，曲线至最左点为.19学士学位论文BACHELOR’STHESIS，↗，↘，曲线至最低点为，↗，↗，曲线至，，↘，↗，曲线至点图象如图1-4所示图1-419学士学位论文BACHELOR’STHESIS1.2极坐标下平面图形的面积图1-3设曲线的极坐标方程在上连续，且，求此曲线与射线所围成的曲边扇形的面积如图1-3所示，在区间上任取一个小区间设此小区间上曲边扇形的面积，则近似于半径为中心角为的扇形面积，从而得到面积微元为可得面积为例1..利用定积分求曲线围成面积。解：如图4-18，阴影部分即为所求面积曲线，故所求面积为19学士学位论文BACHELOR’STHE

7、SISA0图1-5例2.计算阿基米德螺线上对应于从0变到的一段曲线与极轴所围成图形的面积。面积微元为于是所求面积为2.应用定积分求旋转体的体积图1-52.1平行截面积已知的立体体积.设有一立体价于过点圆垂直于轴的两平面之间如图所示，求此立体的体积.如图价于与之间的薄片的体积近似等于地面面积为高为的扁柱体的体积，即体积微元为于是所求的体积为即对截面积从到求积分。图2-119学士学位论文BACHELOR’STHESISzbx0ayx图2-22.1.1旋转体体积设及所围图形绕轴旋转，如