fourier级数习题

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1、第十一章Fourier级数习题课一、主要内容1、正交三角函数系2、Fourier级数的定义、系数的计算公式3、Fourier级数展开的条件4、Fourier级数的收敛定理5、Fourier级数的一致收敛性6、Fourier级数的逐项求积和求导定理7、Fourier级数的系数特征及关系8、函数的Fourier级数的具体展开――应掌握在各种形式下的展开，如一个周期区间（，或等）的Fourier级数展开及半个周期区间（如或）上的正弦（余）展开。9、Fourier级数的运用――数项级数的求和二、典型例题1、设，将其展开为Fourier级数，并讨论其Fo

2、urier级数在上是否一致收敛。解、由于函数分段光滑，故可以展开成Fourier级数，又由于其为奇函数，因此，，n＝0，1，2，…，且，n＝1，2，…，故，，由于其Fourier级数的和函数在x＝0点不连续，因而，Fourier级数在非一致收敛。2、设，，将展成正弦级数，讨论该级数在内的一致收敛性。解、将奇延拓到，则133，n＝0，1，2，…，，n＝1，2，…，故，.由于收敛于，而在点不连续，因而，利用函数项级数的连续性定理，在内非一致收敛，事实上，若在内一致收敛，由于其在端点处收敛，因而，其在上一致收敛，故，和函数必连续。注、可以证明在内是内

3、闭一致收敛。3、将，展成Fourier系数，并由此计算，.解、直接计算得，，，，n＝1，2，…，故，。又由于且，由收敛性定理，则，，133取得。为求，利用逐项求积定理，则对，，即，再积分两次，则，取得。4、证明：，.证明：令，则可以将在上展开成Fourier级数，计算得，，，，n＝1，2，…，又由于，由Fourier级数的收敛定理，则，.5、证明：，.分析133与上例类似，但是，要注意，展开式要求在两个端点处也成立，这就必然要求周期延拓后的函数在两个端点处连续，注意到左端的级数为余弦级数，因而，必须对函数左偶延拓。证明：记，,将其偶延拓至，再以

4、为周期延拓至，则计算其Fourier系数得，，，，故，又由于，因而，，，特别，时也成立，这就是要证明的等式。6、将在上展开成Fourier级数，使得其Fourier级数在区间上收敛于。分析题目相当于要求延拓后的函数在两个端点处连续，因此，必须先将函数偶延拓至，再以为周期延拓至整个数轴，然后再进行展开。解、先将偶延拓至，再为周期延拓至整个数轴，延拓后的函数是连续函数，计算其Fourier系数，则，，n＝1，2，…，，n＝1，2，…，因而，.1337、设，，且，其中，n＝1，2，…，计算。分析从题型看，正是正弦级数，因而，可以将的计算转化为的计算。

5、解、将奇延拓至(－1，0)，将其展开成Fourier级数，则，，因而，＝－＝。8、设，，将展开成Fourier级数，并计算函数项级数和（其中）和数项级数.解、将视为以为周期的函数，利用公式计算得，，，n＝1，2，…，，n＝1，2，…，故，.利用上述展开结果，则，133因而，令，则，将变量t换为变量x，两式相减，左端偶次项抵消，则，再令，则9设是以为周期的阶Holder连续函数，即，，，证明：，.分析证明的关键是利用系数的计算公式，通过适当的变化和变换，改变积分号下函数的变量形式，借此产生Holder连续所要求的函数差的结构，从结论形式看，差的形

6、式应为，由此决定进行变量代换，在此变换下，对积分作进一步的研究，就决定了下述的证明方法。证明：利用周期函数在长度为周期的区间上的积分相等的性质，则，故，因而，，故，.133类似可得.10设是在上可积和绝对可积的以为在周期的周期函数，证明：1）、若在上单调递减，则其Fourier系数若在上单调递增，则其Fourier系数，n＝1，2，…。2）、设在上可导，且可积和绝对可积，若在上单调递减，则其Fourier系数若在上单调递增，则其Fourier系数，n＝1，2，…。分析从系数的结构可知，要使得系数不变号，被积函数必须不变号，注意到被积函数中含有三

7、角函数的因子，要保证这样的因子不变换，必须将其控制在特定的长度不超过的区间上，但是，由于n的变化，必须根据n将区间进行分割，如对1），在上，，因此，要使得sinnx不变号，最终要使，即；或，即。由于还要借助于函数或者其导数的单调性确定系数的符号，这就需要上例中的技巧，先将积分分段，然后通过变量代换，利用周期性质转化同一积分段上的积分，从而产生函数或导函数的差是形式，可以利用相应的单调性条件确定其符号。由此决定了整个Fourier系数的符号。证明：1）、对进行n等分，则，通过分段，在每一段上，nx的变换幅度为2，再对每一段上的积分再进行分段并利用

8、变量代换转化为长度为的积分区间上的积分，则，对和式后的第二项作变量代换，将其转化为同一个区间上的积分，则133，将变量t换为变量x，则，由于当时，成立