fourier级数 习题课

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1、数学分析第十六章习题课一、内容回顾二、例题数学分析一、内容回顾1、傅里叶级数a0f(x)~(ancosnxbnsinnx)2n11af(x)cosnxdx,(n0,1,2,)n1bf(x)sinnxdx,(n1,2,)n数学分析2f(x)~bnsinnxbn0f(x)sinnxdx(n1,2,)n1a20f(x)~ancosnx,an0f(x)cosnxdx(n0,1,2,)2n1anxnx0f(x)~(acosbsin),nn2n1ll1lnxaf(

2、x)cosdx,(n0,1,2,)nlll1lnxbf(x)sindx,(n1,2,)nlll数学分析2、收敛定理a0f(x)~(ancosnxbnsinnx)2n1(1)Dirichlet积分2m1sinu12S(x)f(xu)dumu2sin2m12sinu12[f(xu)f(xu)]du0u2sin2数学分析(2)Riemann引理定理16.2.1（Riemann引理）设函数(x)在[a,b]上可积或绝对可积，则成立bblim(x)sinpxdxlim(x)cospxdx0。p

3、apa推论16.2.1（局部性原理）可积或绝对可积函数f(x)的Fourier级数在x点是否收敛只与f(x)在(x,x)的性质有关，这里是任意小的正常数。推论16.2.2设函数(u)在[0,]上可积或绝对可积，则成立2m12m1sinusinu22.lim(u)dulim(u)dum0um0u2sin2数学分析(3)收敛定理定理16.2.3（Dirichlet引理）设函数(u)在[0,]上单调，(u)(0)则成立limsinpudu0.p0u分段单调函数的定义定义16.2.1设函数f

4、在[a,b（或](a,b)）上有定义。如果在[a,b]（或(a,b)）上存在有限个点axxx2xb，01N使得f在每个区间(x,x)（i1,2,,N）上是单调函数，则i1i称f在[a,b]（或(a,b)）上分段单调。“Hölder条件”的定义定义16.2.2设点x是函数f(x)的连续点或第一类不连续点，若对于充分小的正数，存在常数L0和(0,1]，使得成立

5、f(xu)f(x)

6、Lu(0u)，则称f(x)在点x处满足指数为(0,1]的Hölder条件（当1也称为Lipschitz条件）。数学分析(3)收敛定理

7、定理16.2.2设函数f(x)在[π,π]上可积或绝对可积，且满足下列两个条件之一，则f(x)的Fourier级数在点x处f(x)f(x)收敛于。21.（Dirichlet-Jordan判别法）f(x)在点x的某个邻域O(x,)上是分段单调有界函数；2.（Dini-Lipschitz判别法）f(x)在点x处满足指数为(0,1]的Hölder条件。推论16.2.3若f(x)在[π,π]上可积或绝对可积，在点x处两个单侧导数f(x)和f(x)都存在，或更进一步，只要两个拟f(xh)f(x)单侧导数lim存在，则f(x)的Fourie

8、r级数h0hf(x)f(x)在点x处收敛于。2数学分析3、Fourier级数的性质(1)分析性质定理16.3.1设f(x)在[,]上可积或绝对可积，则对于f(x)的Fourier系数a与b，有nnlima0，limb0。nnnn定理16.3.2（Fourier级数的逐项积分定理）设f(x)在[,]上可积或绝对可积，a0f(x)~(ancosnxbnsinnx)，2n1则f(x)的Fourier级数可以逐项积分，即对于任意c,x[,]，axxx0f(t)dtdt(acosntbsinnt)dt。

9、cc2cnnn1a数学分析0推论16.3.1(acosnxbsinnx)是某个在[,]上可nn2n1bn积或绝对可积函数的Fourier级数的必要条件是收敛。n1n定理16.3.3（Fourier级数的逐项微分定理）设f(x)在[,]a0上连续，f(x)~(acosnxbsinnx)，f()f()，nn2n1且除了有限个点外f(x)可导。进一步假设f(x)在[,]上可积或绝对可积（注意：f(x)在有限个点可能无定义，但这并不影响其可积性）。则f(x)的Fourier级数可由f(x)的Fourier级

10、数逐项微分得到，即dad0f(x)~