不等式,函数与导数的解题方法,分类整理

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1、【考向预测】函数是整个高中数学的主线，导数是研究函数性质的重要工具，函数的单调性是函数最重要的性质之一，它与不等式的联系非常密切．本部分考查的内容主要有：函数的概念和性质，基本初等函数的图象、性质、应用，导数的概念和应用，不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式．考查学生的抽象思维能力、推理论证能力，运算求解能力及数学应用意识．从高考卷来看，对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．预测2014年四川高考关于不等式、函数与导数，仍会以考查函数的图象与性质，利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点，知识载体主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分式函数．综

2、合题主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参数取值范围；(2)不等式、函数与导数综合问题．【问题引领】1．函数y＝ax＋3－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，且m>0，n>0，则3m＋n的最小值为(　　)．A．13　　　　B．16　　　　C．11＋6　　D．28【解析】函数y＝ax＋3－2(a＞0，且a≠1)恒过定点(－3，－1)，又因为点A在直线＋＝－1上，所以＋＝1，所以3m＋n＝(3m＋n)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16，所以3m＋n的最小值为16.【答案】B2．设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为(

3、　　)．A．－3　B．－2C．－1D．0【解析】由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出的区域BCO如图所示，平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线经过C点时，直线的截距最大，此时z＝6，由解得所以k＝3，解得B(－6，3)，代入z＝x＋y得最小值为z＝－6＋3＝－3.【答案】A3．若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，且a≠1)在区间(－，0)内单调递增，则a的取值范围是(　　)．A．[，1)B．[，1)C．[，＋∞)D．(－，1)【解析】设φ(x)＝x3－ax，当a∈(0，1)时，依题意有φ(x)＝x3－ax在区间(－，0)内单调递减且φ(x)＝x3－ax在(－，0)上大于0.∵φ′

4、(x)＝3x2－a即φ′(x)≤0在(－，0)恒成立⇔a≥3x2在(－，0)上恒成立．∵x∈(－，0)，∴3x2∈(0，)，∴a≥，此时φ(x)>0，∴≤a<1.当a>1时，φ(x)在区间(－，0)内单调递增，∴φ′(x)＝3x2－a在(－，0)上大于0.∴a≤3x2在(－，0)上恒成立．又∵3x2∈(0，)，∴a≤0与a>1矛盾．综上，a的取值范围是[，1)．【答案】B4．过点P(2，－2)且与曲线y＝3x－x3相切的直线方程是________．【解析】设点(a，b)是曲线上的任意一点，则有b＝3a－a3.导数y′＝3－3x2，则切线的斜率k＝3－3a2，所以切线方程为y－b＝(3－3a

5、2)(x－a)，即y＝(3－3a2)x－a(3－3a2)＋b＝(3－3a2)x＋3a3－3a＋3a－a3，整理得y＝(3－3a2)x＋2a3，将点P(2，－2)代入得－2＝2(3－3a2)＋2a3＝2a3－6a2＋6，即a3－3a2＋4＝0，即a3＋1－3a2＋3＝(a3＋1)－3(a2－1)＝0，整理得(a＋1)(a－2)2＝0，解得a＝2或a＝－1，代入切线方程得y＝－9x＋16或y＝－2.【答案】y＝－9x＋16或y＝－25．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝

6、xcos(πx)

7、，则函数h(

8、x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为________．【解析】原题转化为函数f(x)与g(x)的图象在[－，]上有几个交点问题．可知函数f(x)为偶函数，故f(x)＝f(2－x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)是周期为2的函数．当x＝，，0，－时，g(x)＝0，当x＝1时，g(x)＝1，且g(x)是偶函数，且函数值为非负，由此可画出函数y＝g(x)和函数y＝f(x)的图象如图所示，由图可知两图象有6个交点．【答案】66．设函数f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)当a≠0时，求f(x)的单调区间．【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0

9、，＋∞)，当a＝0时，f(x)＝2lnx＋，∴f′(x)＝－＝.由f′(x)＝0，得x＝.f(x)，f′(x)随x变化如下表：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值　　由上表可知，f(x)极小值＝f()＝2－2ln2，没有极大值．(2)由题意，f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝.若a＞0，由f′(x)≤0，得x∈(0，]；由f′(x)≥0，得x∈[，＋∞)．若a＜0,①当a＜－2时，－＜，