多元函数微分学及应用习题

《多元函数微分学及应用习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、习题课多元函数微分学的应用一．多元复合函数、隐函数的求导法 例1已知函数由方程是常数，求导函数。解：方程两边对求导，例2设函数由方程组确定，求.解解方程得：=由此得到.(3)隐函数由方程确定，求解：函数关系分析:5(变量)-3(方程)=2(自变量);一函(u),二自(x,y),二中(z,t),,.二．二阶偏导数例3设，其中函数于的二阶偏导数连续，求138例1设，二阶连续可微，求.解记;,,则,因为都是以为中间变量，以为自变量的函数，所以将以上两式代入前式得:.三．方向导数和梯度　例2设在点可微，．如果，求在点的微分．答案：．例3设函数有连续的偏导数,且在点的两个

2、偏导数分,.则在点增加最快的方向是()四．几何应用例4求曲面:上切平面与直线平行的切点的轨迹。解:(1)直线的方向：.切点为处曲面的法向：.(2)所求轨迹：,138轨迹为空间曲线：例1已知可微，证明曲面上任意一点处的切平面通过一定点，并求此点位置．证明：设，于是有：,　则曲面在处的切平面是：可以得到：易见当时上式恒等于零。于是知道曲面上任意一点处的切平面通过一定点，此定点为．例2求曲线,在点处的切线方程.解:取，，则所以曲线在处的切向量为，于是所求的切线方程为五．极值问题例3函数在有界闭区域上连续，在D内部偏导数存在,在的边界上的值为零，在内部满足，其中是严格单

3、调函数，且，证明.138证明：假设不恒为0，不妨设其在区域上某点P处取极大值，则有，这与是严格单调函数矛盾。例1（隐函数的极值）设由确定，求该函数的极值．解：　　　　　　　　三个方程联立，得驻点．　　在点且，点是极小值点；　　在点且，点是极大值点．例2求原点到曲面的最短距离．解：拉格伦日函数：解方程组，．拉格伦日函数的两个驻点为138距离，由实际意义，本问题存在最短距离，故就是最短距离．138