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1、习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法 (1)多元复合函数设二元函数在点处偏导数连续，二元函数在点处偏导数连续,并且,则复合函数在点处可微，且多元函数微分形式的不变性：设，均为连续可微，则将看成的函数，有计算，代人，我们将叫做微分形式不变性。例1设，求。解：由微分形式不变性，故。例1已知，求.解考虑二元函数,，应用推论得(2)隐函数若函数,由方程确定，求导之函数？按隐函数定义有恒等式：，。从这是可见：函数可导有一个必要条件是，.例2已知函数由方程是常数，求导函数。解：方程两边对求导，一般来说，若函
2、数,由方程确定，求导之函数？将看作是的函数,对于方程两端分别关于求偏导数得到，并解,可得到公式:例1设函数由方程组确定，求.解解方程得：=由此得到.例2已知函数由参数方程:,给定，试求.解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法.是自变量,是中间变量(是的函数),先由得到是由方程的的隐函数，在这两个等式两端分别关于求偏导数，得，得到将这个结果代入前面的式子,得到与(3)隐函数函数由方程确定，求解：函数关系分析:5(变量)-3(方程)=2(自变量);一函(u),二自(x,y),二中(z,t),,.二阶偏导数：一阶导函数的偏导数例
3、1由决定，求．解：，例2设，其中函数于的二阶偏导数连续，求例3设，二阶连续可微，求.解记;,,则,因为都是以为中间变量，以为自变量的函数，所以将以上两式代入前式得:.例1设二阶连续可微，并且满足方程若令试确定为何值时能变原方程为.解将看成自变量，看成中间变量，利用链式法则得=由此可得,===0只要选取使得,可得.问题成为方程有两不同实根，即要求：.令,,即可。此时，..例2设,又,,,求,解:,两边对求导,.(1),两边对求导,,.两再边对求导,.(2)由已知,(3)(1),(2),(3)联立可解得:多元微分的应用:几何应用，物
4、理应用极值与条件极值问题空间曲面(1)空间曲面的表达式显函数表示：隐函数表示:参数表示：(2)空间曲面的切平面与法线l空间曲面由显函数表示，设，空间曲面过切平面方程为法线方程是法向量为 空间曲面存在切平面的条件：若曲面由显函数表示在点可微,则曲面在点有不平行轴的切平面.l若曲面由隐函数表示,曲面过切平面方程为法线方程为法向量 l若曲面由参数表示：，其切平面为或 法线方程为 法向量 例1求曲面:上切平面与直线平行的切点的轨迹。解:(1)直线的方向：.切点为处曲面的法向：.(2)所
5、求轨迹：,轨迹为空间曲线：例2证明球面与锥面正交.证明所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直.记曲面上任一点处的法向量是或者曲面上任一点处的法向量为.设点是两曲面的公共点，则在该点有即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交.例3过直线作曲面的切平面，求该切平面的方程．解：设切平面过曲面上的点，则切平面的法向量为过直线的平面可以表示为其法向量为 （１）是曲面上的点， （２） （３）联立（１），
6、（２），（３），解得，或，切平面方程为，或例1通过曲面上点的切平面（B）（）通过轴；（）平行于轴；（）垂直于轴；（），，都不对.解题思路令.则在其上任一点的法向量为于是在点的法向量为因此,切平面的方程为.在的法向量垂直于轴，从而切平面平行于轴．但是由于原点不在切平面，故切平面不含轴.例2已知可微，证明曲面上任意一点处的切平面通过一定点，并求此点位置．证明：设，于是有：, 则曲面在处的切平面是：可以得到：易见当时上式恒等于零。于是知道曲面上任意一点处的切平面通过一定点，此定点为．例1S由方程确定,试证明：曲面S上任一点的法线与某定
7、直线相交。证明:曲面上任意一点的法线为设相交的定直线为,与法线向交:不平行于只要取即可.例1求过直线且与曲面相切的平面的方程.解：直线L平面F可表示为，设曲面为G则相切处有解得因此切平面方程为或例2在椭球面上求一点，使椭球面在此点的法线与三个坐标轴的正向成等角。解：椭球面在此点的法线矢量为，设该点为，则有该点坐标为空间曲线的切线和法平面 (1)空间曲面的表达式l空间曲面的参数方程:参数方程又可以写作l空间曲线的交面式：一条空间曲线，可以看作通过它的两个曲面与的交线，若设的方程为，的方程为，则的方程是(2)空间曲线的切线与法平面l
8、空间曲面的参数方程表示，其切线为 切向量为： 法平面为： l空间曲线的交面式表达方式，其切线为切向量为： 法平面为：例1求螺线；,在点处的切线与法平面.解由于点对应的参数为，所以螺线在处的切向量是因而所求切线的参数方程为法平面方程为.
