高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 2.2 绝对值不等式的解法学案 北师大版选修4-5

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1、2.2　绝对值不等式的解法1．会利用绝对值的几何意义来证明不等式．2．掌握

2、ax＋b

3、≤c，

4、ax＋b

5、≥c，

6、x－a

7、＋

8、x－b

9、≥c和

10、x－a

11、＋

12、x－b

13、≤c的求解及证明方法．1．(1)解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为________、________及不等式的性质．(2)绝对值不等式的解法(同解性)①

14、x

15、＜a⇔②

16、x

17、＞a⇔【做一做1】解下列绝对值不等式：(1)

18、x

19、＜3；(2)

20、x

21、＞4．2．

22、ax＋b

23、≤c(c＞0)，

24、ax＋b

25、≥c(c＞0)型不等式的解法(1)

26、ax＋b

27、≤c(c＞0)型不等式的解法：先化为不等式组______

28、______，再利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．(2)

29、ax＋b

30、≥c(c＞0)的解法：先化为______和______，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．【做一做2－1】不等式

31、x＋4

32、＞9的解集是__________．【做一做2－2】不等式

33、2x＋1

34、＞x＋1的解集为__________．3．

35、x－a

36、＋

37、x－b

38、≥c和

39、x－a

40、＋

41、x－b

42、≤c型不等式的解法解法一：可以利用绝对值的________．(简称几何法)解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“____”为分界点，将数轴分成几

43、个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的____，进而去掉__________．(简称分段讨论法)解法三：可以通过________，利用________，得到不等式的解集．(简称图像法)由上可以看出：解含有绝对值的不等式，关键在于利用绝对值的意义设法去掉__________，把它转化为一个或几个普通______或________(即不含绝对值符号)．【做一做3】解不等式

44、2x－5

45、－

46、x＋1

47、＜2．答案：1．(1)绝对值的定义　几何意义　(2)①－a＜x＜a　无解　②x＜－a或x＞a　x≠0　x∈R【做一做1】解：(1)∵3＞0，∴－3＜x＜3．(2)∵4＞0，∴x＞

48、4或x＜－4．2．(1)－c≤ax＋b≤c　(2)ax＋b≥c　ax＋b≤－c【做一做2－1】{x

49、x＜－13或x＞5}　由原不等式，得x＋4＞9或x＋4＜－9，解得x＞5或x＜－13．【做一做2－2】　原不等式可化为不等式组：或解得x＞0或x＜－．3．几何意义　零点　符号　绝对值符号　构造函数　函数图像　绝对值符号　不等式　不等式组【做一做3】分析：利用零点分区间法解题．解：令2x－5＝0，得x＝．令x＋1＝0，得x＝－1．(1)当x≤－1时，原不等式等价于－(2x－5)＋(x＋1)＜2，即－x＋6＜2，即x＞4，无解．(2)当－1＜x＜时，原不等式等价于－(2x

50、－5)－(x＋1)＜2，即－3x＋4＜2，即x＞．∴＜x＜．(3)当x≥时，原不等式等价于(2x－5)－(x＋1)＜2，即x－6＜2，即x＜8．∴≤x＜8．综上，得原不等式的解集为．用分段讨论法解含绝对值的不等式剖析：分段讨论法解含绝对值的不等式时，是先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式求解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解．在分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x”的范围

51、(或值)作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集；解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围(或值)，每一步间的结果各自独立．不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论．所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然都是用的分段讨论法，但实质上是不同的．这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错．题型一

52、ax＋b

53、≤c(c＞0)和

54、ax＋b

55、≥c(c＞

56、0)型不等式的解法【例1】解不等式2＜

57、2x－5

58、≤7．分析：分清楚绝对值不等式的类型，利用绝对值不等式的同解性或几何定义求解．反思：(1)

59、ax＋b

60、≥c(c＞0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(2)

61、ax＋b

62、≤c(c＞0)⇔－c≤ax＋b≤c．在实际问题中，我们应先把x的系数化为正数后再求解．题型二　

63、x－a

64、＋

65、x－b

66、≥c型不等式的解法【例2】解不等式

67、x－1

68、＋

69、x＋2

70、≥5．分析：这个绝对值不等式比较复杂，我们需要从它的几何意义来分析，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，那么不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．