2018-2019学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 2.2 绝对值不等式的解法学案 北师大版选修4-5

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1、2.2　绝对值不等式的解法学习目标　1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

2、ax＋b

3、≤c，

4、ax＋b

5、≥c，

6、x－a

7、＋

8、x－b

9、≥c，

10、x－a

11、＋

12、x－b

13、≤c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解．知识点一　

14、ax＋b

15、≤c(c>0)和

16、ax＋b

17、≥c(c＞0)型不等式的解法思考1　

18、x

19、≥2说明实数x有什么特征？答案　因为x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2，所以x≥2或x≤－2.思考2　若

20、2x－3

21、≤5，求x的取值范围．答案　{x

22、－1≤x≤4}．梳理　(1)含绝对值

23、不等式

24、x

25、＜a与

26、x

27、＞a的解法①

28、x

29、＜a⇔②

30、x

31、＞a⇔(2)

32、ax＋b

33、≤c(c＞0)和

34、ax＋b

35、≥c(c＞0)型不等式的解法①

36、ax＋b

37、≤c⇔－c≤ax＋b≤c，②

38、ax＋b

39、≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.知识点二　

40、x－a

41、＋

42、x－b

43、≥c(c>0)和

44、x－a

45、＋

46、x－b

47、≤c(c＞0)型不等式的解法思考　如何去掉

48、x－a

49、＋

50、x－b

51、的绝对值符号？答案　采用零点分段法．即令

52、x－a

53、＋

54、x－b

55、＝0，得x1＝a，x2＝b，(不妨设a＜b)

56、x－a

57、＋

58、x－b

59、＝梳理　

60、x－a

61、＋

62、x－b

63、≥c和

64、x－a

65、＋

66、x－

67、b

68、≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．(3)通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法．类型一　

69、ax

70、＋b

71、≤c(c>0)与

72、ax＋b

73、≥c(c＞0)型的不等式的解法例1　解下列不等式：(1)

74、5x－2

75、≥8；(2)2≤

76、x－2

77、≤4.解　(1)

78、5x－2

79、≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－，∴原不等式的解集为.(2)原不等式等价于由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4，由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集为{x

80、－2≤x≤0或4≤x≤6}．反思与感悟　

81、ax＋b

82、≥c和

83、ax＋b

84、≤c型不等式的解法(1)当c＞0时，

85、ax＋b

86、≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，

87、ax＋b

88、≤c⇔－c≤a

89、x＋b≤c；(2)当c＝0时，

90、ax＋b

91、≥c的解集为R，

92、ax＋b

93、＜c的解集为∅；(3)当c＜0时，

94、ax＋b

95、≥c的解集为R，

96、ax＋b

97、≤c的解集为∅.跟踪训练1　解下列不等式：(1)3≤

98、x－2

99、＜4；(2)

100、

101、x－1

102、－4

103、＜2.解　(1)方法一　原不等式等价于由①得x－2≤－3或x－2≥3，∴x≤－1或x≥5，由②得－4＜x－2＜4，∴－2＜x＜6.∴原不等式的解集为{x

104、－2＜x≤－1或5≤x＜6}．方法二　3≤

105、x－2

106、＜4⇔3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3⇔5≤x＜6或－2＜x≤－1.∴原不等式的解集为{x

107、－2＜

108、x≤－1或5≤x＜6}．(2)

109、

110、x－1

111、－4

112、＜2⇔－2＜

113、x－1

114、－4＜2⇔2＜

115、x－1

116、＜6⇔⇔⇔⇔－5＜x＜－1或3＜x＜7.∴不等式

117、

118、x－1

119、－4

120、＜2的解集为{x

121、－5＜x＜－1或3＜x＜7}．类型二　

122、x－a

123、＋

124、x－b

125、≥c(c＞0)和

126、x－a

127、＋

128、x－b

129、≤c(c＞0)型不等式的解法例2　解关于x的不等式：

130、3x－2

131、＋

132、x－1

133、＞3.解　方法一　分类(零点分段)讨论法

134、3x－2

135、＝0，

136、x－1

137、＝0的根，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式

138、3x－2

139、＋

140、x－1

141、有不同的解析表达式，因而原

142、不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．①因为当x≤时，

143、3x－2

144、＋

145、x－1

146、＝2－3x＋1－x＝3－4x，所以当x≤时，

147、3x－2

148、＋

149、x－1

150、＞3⇔3－4x＞3⇔x＜0.因此，不等式组的解集为{x

151、x＜0}．②因为当＜x＜1时，

152、3x－2

153、＋

154、x－1

155、＝3x－2＋1－x＝2x－1，所以当＜x＜1时，

156、3x－2

157、＋

158、x－1

159、＞3⇔x＞2.因此，不等式组的解集为∅.③因为当x≥1时，

160、3x－2

161、＋

162、x－1

163、＝3x－2＋x－1＝4x－3，所以当x≥1时，

164、3x－2

165、＋

166、x－1

167、＞3⇔4x－3＞3⇔x＞.因此，不等式组的解集为.于是原不

168、等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即{x

169、x＜0}∪∅∪＝.方法二　构造函数f(x)＝

170、3x－2

171、＋

172、x－1

173、－3，则原不等式的解集为{x

174、f(x)＞0}．f(x)＝作出函数f(x)的图像，如图．它是