《积分学阶段复习》word版

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1、积分学阶段复习主要概念原函数的概念：若称为的一个原函数．原函数不是唯一的．不定积分：的全体原函数     称为的不定积分，其中为的一个原函数．   导数运算和不定积分运算是互逆的，已知一个函数，求它的导函数就是导数运算；反之，已知一个函数，求它的原函数（即该函数的导数是已知函数）就是不定积分运算导数运算和不定积分运算的关系：定积分：（文本，无视频）设函数在区间上有定义且有界，在之间插入个分点，即把区间分成个小区间，记为每个小区间的长度，在各小区间上任取一点，作和式    时，极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为函数在上的定积分．记为定积分是一个确定的数值，这与不定积分是有区别的．

2、但它们之间有着紧密的联系，这由N-L公式可以看出N-L公式：若是的一个原函数，则广义积分：设函数在区间上有定义，且对任意，在区间上可积，若极限则称此极限值为函数在上的无穷积分，记为此时称无穷积分收敛．如果不存在，则称无穷积分发散．定积分的几何意义：设在区间上连续，且，则表示由曲线与轴及直线围成的平面图形的面积．（如图所示）对于下面这种平面图形变上限定积分：其中为的一个原函数．已知边际函数求原函数：增量公式：其中为的一个原函数．积分学计算与应用计算与应用：⒈积分的计算：⑴直接积分法：   利用积分基本公式和积分性质直接计算积分的方法．积分基本公式：积分性质：①② ③⑵第一换元积分法：对于积分

3、，如果存在函数，其中可微，的原函数为．使   则由第一换元积分公式有   对于积分，如果存在函数，其中可微，的原函数为．使    且，则由换元积分公式有⑶第二换元积分法：对于积分，如果的原函数是，则⑷分部积分法：对于积分，如果存在可微函数，使则由分部积分公式有    ⒉积分应用：求已知切线斜率的曲线方程；求平面图形的面积；求已知边际函数的经济函数；微分方程．积分学疑难解答问题11．如何区别“的原函数是哪个？”和“哪个函数的原函数是？”   首先要弄清什么是原函数：一个函数的导数是已知函数，这个函数就是已知函数的原函数．比如哪个函数是的原函数？因为的导数是，所以就是的一个原函数．   哪个函

4、数的原函数是，在这里是作为原函数出现，比如哪个函数的原函数是？因为的导数是2，所以2的一个原函数是2x.问题22．原函数、不定积分、定积分三者之间有什么关系？   首先要知道原函数和不定积分之间有什么关系：已知函数的原函数是一个具体的函数，它的导数是已知函数，而不定积分是全体原函数．不定积分定积分有了N-L公式，定积分的计算转化为求原函数的问题，由此可见N-L公式建立了不定积分与定积分之间的密切联系．原函数和定积分之间的关系：要求定积分，就要求被积函数的一个原函数．　问题33．如何记忆积分基本公式？   积分计算最终依赖于积分基本公式，记忆公式有两个要点：有一个导数公式就有一个积分公式积分

5、公式中的可以替换为任意可以写成也可以写成　问题44．如何选择积分的计算方法？   计算不定积分时选择积分计算方法的先后次序是：   直接积分法换元积分法分部积分法   计算定积分时选择积分计算方法的先后次序同上，另外可先用不定积分的计算方法求原函数，再用N-L公式求积分值．问题55．利用凑微分法（第一换元积分法）时需注意什么？   首先要知道为什么凑微分，这是因为原来的积分不容易计算，凑微分以后变成对一个新的变量求积分，这个积分比较容易求.   这种方法的关键是凑微分，利用导数公式得到微分公式，如由得到再利用积分基本公式如最后的结果要将原变量还原而在定积分的换元积分法中，应注意换元变限，无

6、需还原．积分学解题指导填空题1.设，则 ．分析：答案：2.        ．分析：答案：3.已知曲线在点处切线的斜率为，且曲线过点，则该曲线方程为    ．分析：所求曲线过点，得解出，所求曲线为答案：4.微分方程是     阶微分方程．分析：因为微分方程的阶数是未知函数导数（或微分）的最高阶数，所以此方程为3阶微分方程．答案：3单项选择题1.下列等式成立的是（）．（A）（B）（C）（D）　分析：这是个凑微分的问题，但由于结果已知，只需利用右端求导验证．解：，，，答案：D．单项选择题的解题方法：(1)直接推导法：按题目的已知条件或要求，采用常规的解题程序，运用概念、定理和公式进行演算或推理，

7、得到正确的结果，选出正确的选项.(2)排除法：按题目的已知条件或要求，通过观测或简单计算、分析，把不可能成立的项逐一否定，剩下的就是正确的选项.(3)直接验证法：把所给的选项的结果代入已知条件，通过验证判断出正确的选项.2.若，则（）．（A）（B）（C）  (D)分析：用直接推导法．解：答案：C．解题指导——跟我练习解答题1.求不定积分．解：方法一，利用直接积分法方法二，利用凑微分法2.计算．解：利用分部积分法