积分学阶段复习

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1、积分学阶段复习主要概念原窗数的概念：若称F（x）为/（兀）的一个原函数.原两数不是唯一的.不定积分：/（兀）的全体原函数F（x）+°称为/W的不定积分，其中FS）为/（兀）的一个原函数.导数运算和不定积分运算是U逆的，已知一个两数，求它的导函数就是导数运算；反之，已知一个函数，求它的原函数（即该函数的导数是已知函数）就是不定积分运算导数运算和不定积分运算的关系：（j/（x）dx）r=/（x）j/f（x）dr=/（x）+c定积分：（文本，无视频）设函数/（X）在区间〔°"］上有定义口有界，在之间插入〃-1个分点，即把区间［①勿分成〃个小区间，记

2、X=兀一仏（/i，2,…，册为每个小区间的长度，在各小区间上任取一点纟也“心】，心］）,作和式时，极限存在，则称函数几兀)在区间［5切上可积,并称此极限值为函数/⑴在［心］上的定积分.记为fMdx定积分是一个确定的数值，这与不定积分是冇区别的.但它们Z间冇着紧密的联系，这由N-L公式可以看出N~L公式：若F(兀)是/(兀)的一个原函数，则f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)aa广义积分：设函数于(兀)在区间皿+°°)上有定义，且对任意b>a,/(X)在区间［久饲一上可积，若极限limIf(x)dxbTZJa则称此极限值为函数/(X)在〔

3、。，+°°)上的无穷积分，记为ffMdx此时称无穷积分儿/豐£/(x)dx不存在，则称无穷积分f(x)dx收敛.如果p/(x)d%人发散.定积分的几何意义：…—«f(x)dx表示由曲线y=fM与*轴及直线兀=b(b>a)m成的平面图形的面积.(如图所示)A=/(x)dxJurbA=J[y上血变上限定积分：f/(x)dx=F(x)-F(t7)Ju其屮FOO为/(x)的一个原函数.已知边际函数求原函数：F(q)=⑷购+尸(0)Ja增量公式：rbAF=F(b)—F(a)=If(x)dx其中F（Q为/（兀）的一个原函数.F（q）-尸（％）=「片⑷d

4、q乜0积分学计算与应用计算与应用：1•积分的计算:⑴直接积分法：利用积分基本公式和积分性质直接计算积分的方法.积分基本公式：Jodx=cJcosxdx=sinx+cf^dx=—Ja+1J-dx=ln

5、x

6、+cXa工-1Jsinxdx=-cosx+c[—dx=tanx+cJCOSX(a>0ra*1)f—dx=-cotx+c』sin兀积分性质：①J[/(x)±g(x)]dx=j/(x)dx±jg(x)ck©bpbph£[/(%)±g(x)]dx=£/(x)dr±[gO)dx②J^(x)dx=A:J/(x)dx

7、V(x)dx=q：/(x)dx宀f/

8、(x)cLr=[f(x)dx+bf(x)dx(o)JaJ”Jc⑵第一换元积分法：对于积分"⑴叫如果存在函数/d⑴，其中吩）可微，・齐（"）的原函数为尸1（弘）.使则由第一换元积分公式冇j/(x)dr=£((«(%))对于积分^fMdX,如果存在函数拆(")川(兀)，其中"(兀)可微，•齐(“)的原函数为FW.使/⑴=£("(W⑴且u(a)=a,u(b)=^9则由换元积分公式有f(x)dx=Fl(u(x))^⑶第二换元积分法：对于积分"⑴叫如果/(讥/))“'(/)=/.(/)的原函数是片⑴，则^f(x)dx=Fl(u~i(x))+c⑷分部

9、积分法：对于积分"⑴血，如果存在可微函数讥兀)」(兀)，使f(x)=u(x)vf(x)则It!分部积分公式有

10、/(x)iv=u(x)v(x)-p/x)v(x)(ir2•积分应用：求已知切线斜率的曲线方程;求平面图形的面积；求已知边际函数的经济函数;微分方程.积分学疑难解答问题11.如何区别“/（兀）的原函数是哪个？”和“哪个函数的原函数是/（X）?”首先要弄清什么是原函数：一个函数的导数是已知函数，这个函数就是己知函数的原函数•比如哪个函数是2兀的原函数？I大］为，的导数是2兀，所以，就是2x的一个原函数.哪个函数的原函数是/（力，在这里/

11、（兀）是作为原函数出现，比如哪个函数的原函数是2兀？因为力的导数是2,所以2的一个原函数是2上问题21.原函数、不定积分、定积分三者之间有什么关系？首先要知道原函数和不定积分之间有什么关系：已知函数的原函数是一个具休的函数，它的导数是已知函数，而不定积分是全体原函数.不定积分定积分有了N-L公式，定积分的计算转化为求原函数的问题，由此可见N-L公式建立了不定积分与定积分之间的密切联系.原函数和定积分之间的关系：要求定积分，就要求被积函数的一个原函数.问题32.如何记忆积分基本公式？积分计算最终依赖于积分基木公式，记忆公式有两个要点

12、：有一个导数公式就有一个积分公式（c）*=0J0