高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第4讲 垂直关系知能训练轻松闯关 理 北师大版

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1、第4讲垂直关系1．若a，b表示两条不同的直线，α表示平面，a⊥α，b∥α，则a与b的关系为(　　)A．a⊥b，且a与b相交　　B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.因为b∥α，所以在α中必有一条直线c与b平行，因为a⊥α，所以a⊥c，所以a⊥b.2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M

2、垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．3．(2016·南昌调研)已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是(　　)A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n解析：选D.由线面平行、垂直之间的转化知A、B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又nβ，所以β⊥α，即C正确；对于D，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m与n是异面直线，故D项不正确．4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD

3、的是(　　)解析：选A.A中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为.5．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)A．若α∥β，aα，bβ，则a∥bB．若a∥α，b⊥β，且α⊥β，则a∥bC．若a⊥α，a∥b，b∥β，则α⊥βD．若a⊥b，aα，bβ，则α⊥β解析：选C.若α∥β，aα，bβ，则直线a与b可能平行或异面，所以A错误；若a∥α，b⊥β，且α⊥β，则直线a与b可能平行或相交或异面，所以

4、B错误；若a⊥α，a∥b，b∥β，则α⊥β，所以C正确；若a⊥b，aα，bβ，则α与β相交或平行，所以D错误．故选C.6．(2016·九江模拟)如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为A

5、C平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于2.答案：28．(2016·无锡质检)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，若把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命

6、题中，真命题有________个．解析：若把α，β换为直线a，b，则命题转化为“a∥b且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若把α，γ换为直线a，b，则命题转化为“a∥β且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若把β，γ换为直线a，b，则命题转化为“a∥α且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．答案：29．四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．解析：因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平

7、面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．答案：510．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，l⃘α，则l⊥α.其中正确命题的序号是_

8、_______．解析：若平面α、β、γ两两相交于三条直线，则有交线平行，故①不正确．因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由面面垂直的性质定理知③正确．当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，④错误．答案：②③11．(2014·高考课标全国卷Ⅰ