2014版高考数学一轮复习 4.8 正弦定理和余弦定理 理 苏教版

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1、4.8正弦定理和余弦定理一、填空题1．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是________．解析　由题意和正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，b2＋c2－a2≥bc，cosA＝≥，所以0＜A≤.答案　2．若△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．解析　由(a＋b)2－c2＝4及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos60°＝(a＋b)2－3ab，所以ab＝.答案　3．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.解析　由正弦

2、定理，有＝，即sinB＝.又C为钝角，所以B必为锐角，所以B＝，所以A＝.故a＝b＝1.答案　14.在△ABC中,已知30,则B等于________.解析根据正弦定理得sin.∴C=45或C=135.当C=45时,B=105;当C=135时,B=15.答案105或155．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC＝________.解析　设AB＝a，∴BD＝a，BC＝2BD＝a，cosA＝＝＝∴sinA＝＝由正弦定理知sinC＝·sinA＝×＝.答案　6．在△ABC中，若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，那么角C＝

3、________.解析根据三角形面积公式得，S＝absinC＝(a2＋b2－c2)，∴sinC＝.又由余弦定理：cosC＝，∴sinC＝cosC，∴C＝.答案7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝bc＋a2，则角A的大小为________．解析　由余弦定理，得cosA＝＝，所以A＝.答案　8．已知△ABC中，AB＝2，C＝，则△ABC的周长为________(用含角A的三角函数表示)．解析　由正弦定理，得△ABC的周长为a＋b＋c＝＋＋2＝sinA＋sin＋2＝2sinA＋2cosA＋2＝4sin＋2.答案　4sin＋29．已知

4、△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．解析　不妨设A＝120°，c＜b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是由cos120°＝＝－，解得b＝10，S＝bcsin120°＝15.答案　1510.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A角大小为________．解析　由a2－b2＝bc，c＝2b，得a2＝7b2，所以cosA＝＝＝，所以A＝.答案　11.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围为.解析设.由正弦定理得∴.由锐角△A

5、BC得0,又0<180,故30cosAC=2cos∴.答案212．△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝________.解析　由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.平方得a2＋c2＝4b2－2ac.又△ABC的面积为，且B＝30°，故由S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝ac＝，得ac＝6，所以a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理cosB＝＝＝＝.解得b2＝4＋2.又因为b为边长，故b＝1＋.答案　1＋13．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，

6、则＋的值是________．解析　利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为＋＝6cosC，由余弦定理得＝6·，即a2＋b2＝c2.而＋＝＝·＝＝＝＝4.答案　4二、解答题14．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A；(2)若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)解析(1)由条件，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝.∵0°

7、45°＋30°)＝＝2＋，∴b＝8＋4.15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a.(1)求cosA的值；(2)cos的值．解析　(1)由B＝C,2b＝a，可得c＝b＝a，所以cosA＝＝＝.(2)因为cosA＝，A∈(0，π)，所以sinA＝＝，cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinAcosA＝.所以cos＝cos2Acos－sin2Asin＝×－×＝－.16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．解析　(1)

8、因为c2＝a2＋b2－2