2020高考数学一轮复习 课时作业23 正弦定理和余弦定理 理

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1、课时作业23　正弦定理和余弦定理[基础达标]一、选择题1．在△ABC中，若A＝，B＝，BC＝3，则AC＝(　　)A.　　　　　　　　　　　B.C．2D．4解析：由正弦定理得：＝，即有AC＝＝＝2.答案：C2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：∵＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝.∵A∈(0，π)，∴

2、A＝，∴△ABC是等边三角形．答案：C3．[2018·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　)A.B.C.D.解析：∵S＝absinC＝＝＝abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝.故选C.答案：C4．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定解析：∵＝，∴sinB＝sinA＝sin45°，∴sinB＝.又∵a

3、△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝(　　)A.B.C.D.解析：由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cosA＝＝＝，故A＝，对于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sinAsinC＝·sinC，由正弦定理得，＝＝＝.故选B.答案：B二、填空题6．[2019·济南市高三模拟考试]在平面四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝3，BC＝5，则线段BC的长度为________．解析：由题可知四边形

4、ABCD的四个顶点在以BD为直线的圆上，连接AC，则由已知条件及余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝7，得AC＝.又BD是△ABC外接圆的直径，所以由正弦定理可得BD＝＝＝2.答案：27．在△ABC中，若b＝asinC，c＝acosB，则△ABC的形状为________．解析：由b＝asinC可知＝sinC＝，由c＝acosB可知c＝a·，整理得b2＋c2＝a2，即三角形一定是直角三角形，A＝90°，∴sinC＝sinB，∴B＝C，即b＝c，故△ABC为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形8．[

5、2019·福州检测]在钝角三角形ABC中，AB＝3，BC＝，A＝30°，则△ABC的面积为________．解析：由已知及余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，即3＝9＋AC2－3AC，解得AC＝或AC＝2.当AC＝BC＝时，C＝180°－2×30°＝120°，满足题意，此时△ABC的面积为AC·BCsinC＝；当AC＝2，AB2＋BC2＝AC2，则B＝90°，不满足题意，应舍去．综上，△ABC的面积为.答案：三、解答题9．[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45

6、°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解析：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.10．[2019·济南模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA－acosB＝2c.(1)证明：tanB＝－3ta

7、nA；(2)若b2＋c2＝a2＋bc，且△ABC的面积为，求a.解析：(1)根据正弦定理，得sinBcosA－cosBsinA＝2sinC＝2sin(A＋B)，即sinBcosA－cosBsinA＝2(sinBcosA＋cosBsinA)，整理得sinBcosA＝－3cosBsinA，方程两边同时除以cosAcosB，∴tanB＝－3tanA.(2)由已知得，b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝，由0

8、2＝，得a＝2.[能力挑战]11．[2019·广州市高三调研]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acosB＝(2c－b)cosA.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的最大值．解析：(1)解法一　由已知，得acosB＋bcosA＝2ccosA.由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA