中值定理及导数的应用(III)

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1、第三章习题课中值定理及导数的应用一基本要求1、理解罗尔定理、拉格朗日中值定理,会用他们证明一些等式或不等式。2、了解柯西中值定理及泰勒中值定理的条件和结论,会求简单函数的泰勒公式及麦克劳林公式。3、熟练掌握洛必达法则,并利用它求未定式的极限。4、理解函数单调性与导数正负号的关系,会判断函数的单调性。5、掌握极值的概念和求法,掌握最大(小)值的求法。6、了解函数图形的凹凸性与拐点的概念,并会判断曲线的凹凸性与拐点。7、了解微分作图法。二要点提示1、洛必达法则若在自变量某一变化过程中(或),(1)为()或()型未定式;(2),可导,且;(3)存在或;则运用洛

2、必达法则求未定式极限时应该注意下述两点:(1)先检查法则的条件是否具备,特别要注意极限是否未定式,是否存在或。(2)配合使用其它求极限的方法,例如,化简、分子(分母)有理化、先求出非零因式的极限,等价无穷小替代等,以使运算简便。注:对于及,,型未定式,可通过变形转化为()或()型,再运用洛必达法则。2、判定函数单调性的方法若,,则在上单调增加;若,,则在上单调减少。3、判定曲线凹凸的方法若,,则在上的图形是凹的;若,,则在上的图形是凸的。4、极值可能极值点为:驻点和不可导点。判定极值的方法:(1)第一种充分条件:设为可能极值点,考察两侧导数是否改变符号。

3、(2)第二种充分条件:若,,则当时,在处取得极大值;当时,在处取得极小值。注:当时,方法失效。5、拐点连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点()。可能的拐点为:使和不存在时曲线上相应的点()。判定()是拐点的方法:考察左右两侧二阶导数是否改变符号。三问题与思考问题1、下面例题方法对吗?(1)(2)不存在。答:均为错误。(1)不是未定式.事实上,。(2)应为()说明:洛必达法则不是万能的。问题2、如果在取得极值,是否必有?答:不一定。因为函数还可以在导数不存在的点取得极值。问题3、如果可导函数当时,有,则当,有,该结论正确吗?答:不对。因为当时,,只能

4、说明当时是单调增加的,不能保证。例如,当时,,但当时,。问题4、利用导数证明不等式的常用方法有哪些?(1)利用拉格郎日的中值定理。例(2)利用函数的单调性,例:当时,(3)利用泰勒公式,同(2)。(4)利用函数的最大最小值。(5)利用函数图形的凹凸性。四典型题目1、求极限(1)(2)(3)(4)2、设在内具有二阶导数,且,试求的导数?3、证明:当时,。4、试确定,使在处有极值为-2。

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