曲线积分与曲面积分(解题方法归纳

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1、第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1)利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2)直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分(3)利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.(4)利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.(5)利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分.(6)利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.2.在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线关于轴对称，则其中是在右半平面部分.若积分曲线关于轴对称，则其中是在上半平面部分.（2）若空间积分曲线关于平面对称，则.（3）若积分曲面关于面对称，则其中是在面上方部分.

2、若积分曲面关于面对称，则其中是在面前方部分.若积分曲面关于面对称，则其中是在面右方部分.（4）若曲线弧，则若曲线弧（极坐标），则若空间曲线弧，则（5）若有向曲线弧，则若空间有向曲线弧，则（6）若曲面，则其中为曲面在面上的投影域.若曲面，则其中为曲面在面上的投影域.若曲面，则其中为曲面在面上的投影域.（7）若有向曲面，则（上“+”下“-”）其中为在面上的投影区域.若有向曲面，则（前“+”后“-”）其中为在面上的投影区域.若有向曲面，则（右“+”左“-”）其中为在面上的投影区域.（8）与路径无关（为内任一闭曲线）（存在）其中是单连通区域，在内有一阶连续偏导数.（9）格林公式其中为有界闭

3、区域的边界曲线的正向，在上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式或其中为空间有界闭区域的边界曲面的外侧，在上具有一阶连续偏导数，为曲面在点处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式其中为曲面的边界曲线，且的方向与的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，在包含在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1.计算曲线积分或曲面积分的步骤：（1）计算曲线积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）；2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：①判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分；②判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式

4、的条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③将其化为定积分直接计算.④对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）；2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：①判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；②将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算.例1计算曲线积分，其中为取逆时针方向.解由于积分曲线关于轴、轴均

5、对称，被积函数对、均为偶函数，因此故『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.例2计算曲面积分，其中为球面.解由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知又由轮换对称性知故『方法技巧』对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3计算曲面积分，其中为球面.解『方法技巧』积分曲面是关于对称的，被积函数是的奇函数，因此例4计算曲线积分，其中为圆周的逆时针方向.解法1直接计算.将积分曲线表示为参数方程形式代入被积函数中得解法2利用格林公式

6、其中，故『方法技巧』本题解法1用到了定积分的积分公式：解法2中，一定要先将积分曲线代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足在内有一阶连续偏导数的条件.例5计算曲线积分，其中为沿由点到点的曲线弧.解直接计算比较困难.由于，因此在不包含原点的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周上从到点的弧段代替原弧段，其参数方程为：，代入被积函数中得『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段，既要保证简单，又要保证不经过坐标原点.例6计算曲面积分，其中为的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解由于曲面具有轮换对称性，，投影到面的区域，故『方法技巧』由于积分曲面具有轮换对称性，因此可以将直接转换为，只

7、要投影到面即可.例7计算曲面积分，其中为锥面在部分的上侧.解利用高斯公式.添加辅助面，取下侧，则其中为和围成的空间圆锥区域，为投影到面的区域，即，由的轮换对称性，有故『方法技巧』添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.例8计算曲线积分，其中从轴的正向往负向看，的方向是顺时针方向.解应用斯托克斯公式计算.令取下侧，在面的投影区域为，