高三数学大一轮复习空间向量及其运算学案理新人教a

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1、学案45 空间向量及其运算导学目标:1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.自主梳理1.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有______和______的量叫做空间向量.(2)相等向量:方向______且模______的向量.(3)共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是______________________

2、________.推论 如图所示,点P在l上的充要条件是:=+ta①其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取=a,则①可化为=___________________或=(1-t)+t.(4)共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb,推论的表达式为=x+y或对空间任意一点O有,=__________________或=x+y+z,其中x+y+z=____.2.空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序

3、实数组{x,y,z},使得p=____________________________,把{a,b,c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则________叫做向量a与b的夹角,记作________,其范围是________________,若〈a,b〉=,则称a与b______________,记作a⊥b.②两向量的数量积已知两个非零向量a,b,则______________________叫做向量a,b的数量

4、积,记作________,即______________________________.(2)空间向量数量积的运算律①结合律:(λa)·b=____________________;②交换律:a·b=________;③分配律:a·(b+c)=________________.164.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a·b=____________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

5、a∥b(b≠0)⇔____________⇔________,__________,________________,a⊥b⇔________⇔_________________________________(a,b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

6、a

7、==_____________________________________________________________,cos〈a,b〉==___________________________

8、______________________________.若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则

9、

10、=__________________________________________________________________.自我检测1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,则(  )A.x=1,y=1B.x=,y=-C.x=,y=-D.x=-,y=2.(2011·青岛月考)如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则

11、下列向量中与相等的向量是(  )A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c3.(2011·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,已知∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60°,AB=3,AD=4,AA′=5,则

12、

13、=________.4.有下列4个命题:①若p=xa+yb,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则p=xa+yb;③若=x+y,则P、M、A、B共面;④若P、M、A、B共面,则=x+y.其中真命题的个数是(  )A.1B.2C.3D.45.A(1,0,1),B(4,4,6),

14、C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).16探究点一 空间基向量的应用例1 已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.变式迁移1 如图,在正四面体ABCD中,E、F分别为棱AD、BC的中点,则异面直线AF和CE所成角的余弦

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