高三数学大一轮复习讲义 8.6空间向量及其运算 理 新人教a版

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1、§8.6　空间向量及其运算2014高考会这样考　1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义．复习备考要这样做　1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．(4)共面向量：平行

2、于同一个平面的向量．2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__.(3)空间向量基本定理如

3、果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a

8、·b＝

9、a

10、

11、b

12、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2

13、b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

14、a

15、＝＝，cos〈a，b〉＝＝.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝

16、

17、＝.[难点正本　疑点清源]1．空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．比如：(1)定义式：a·b＝

18、a

19、

20、b

21、cos〈a，b〉或cos〈a，b〉

22、＝，用于求两个向量的数量积或夹角；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系；(3)

23、a

24、2＝a·a，用于求距离等等．2．用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．答案　－13解析　∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝－20

25、－5＋12＝－13.2．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②

26、a

27、－

28、b

29、＝

30、a＋b

31、是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确的所有命题的序号为__________．答案　②③④解析　①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有

32、a

33、＋

34、b

35、＝

36、a＋b

37、；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A

38、、B、C四点共面．3．同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是____________________．答案　或解析　设与a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)同时垂直b单位向量是c＝(p，q，r)，则解得或即同时垂直a，b的单位向量为或.4．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c答案　A解析　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－