高中数学《任意角的三角函数——三角函数线》教案

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1、《任意角的三角函数——三角函数线》 教学背景:   1.教材地位分析:三角函数是中学数学的重要内容之一,而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想,又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数诱导公式,求解三角函数不等式,探索三角函数的图像和性质,可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.2.学生现实分析:学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.  教学目标:1.知识目标:使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、

2、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.2.能力目标:通过尺规作图让学生经历概念的形成过程,提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;充分发挥学生的自主探究性,让学生借助所学知识自己去发现新问题,并加以解决,提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.3.情感目标:激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.  教学重点难点:1.重点:三角函数线的作法及其简单应用.2.难点:利用与单位圆有关的有向线段,

3、将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.  教学方法与教学手段:1.教法选择:“设置问题,探索辨析,归纳应用,延伸拓展”——科研式教学.  2.学法指导:类比、联想,产生知识迁移;观察、实验,体验知识的形成过程;猜想、求证,达到知识的延展.  教学过程:  一、设置疑问,实验探索(17分钟)(一)设置疑问,点明主题前面我们学习了角的弧度制,角弧度数的绝对值,其中是以角作为圆心角时所对弧的长,r是圆的半径.特别地,当r=1时,,此时的圆称为单位圆,这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值,那么能否用几

4、何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢?这就是我们今天一起要研究的问题.设计意图:既可以引出单位圆,又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.(二)概念学习,分散难点有向线段:带有方向的线段.(1)方向:按书写顺序,前者为起点,后者为终点,由起点指向终点.如:有向线段OM,O为起点,M为终点,由O点指向M点.(动态演示)(2)数值:(只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段)绝对值等于线段的长度,若方向与坐标轴同向,取正值;与坐标轴反向,取负值.如:OM=1,ON=-1,AP=设计意图:相关概念的学习分散了教

5、学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究.(三)试验探索角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是(),它与原点的距离是r,比值叫做的正弦.思考:能否用几何图形表示出角的正弦呢?学生联想角的弧度数与弧长的转化,类比猜测:若令r=1,则.取角的终边与单位圆的交点为P,过点P作轴的垂线,设垂足为M,则有向线段MP=.(学生分析的同时,教师用几何画板演示)请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0.这条

6、与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线.2.思考:用哪条有向线段表示角的余弦比较合适?并说明理由.请学生推导说明,老师用图形演示.有向线段OM叫做角的余弦线.3.如何用有向线段表示?讨论焦点:若令=1,则=AT,但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点,若此时取=-1的点T‘,tan=-=T‘A‘,有向线段的表示方法又不能统一.引导观察:当角的终边互为反向延长线时,它们的正切值有什么关系?统一认识:方案1:在象限角的终边或其反向延长线上取=1的点T,则=AT;方案2:借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到.动画演示验证:当角的终

7、边落在坐标轴上时,tan与有向线段AT的对应.这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的正切线.二、作法总结,变式演练(13分钟)(一)作法总结正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演示(一学生描述,同时用电脑演示):第一步:作出角的终边,与单位圆交于点P;第二步:过点P作轴的垂线,设垂足为M,得正弦线MP、余弦线OM;第三步:过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线的交点设为T,得角的正切线AT.特别注意:三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清

8、起点和终点,书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点,正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点,其中点A为定点(1,0).设计意图:及时归纳总结,加深知识的理解和记忆.三、变式演练,提高能力:练习.利用几何

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