高数2第11章补充题解答

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1、高等数学A2补充题班级学号姓名§11-11．判断级数的收敛性，若收敛求其和．解：因为级数公比的绝对值，故该级数收敛．其和为．解法二：因为，所以．2．判断级数的收敛性．解：因为．即级数的一般项不以0为极限，从而该级数发散．解法二：因为14高等数学A2补充题班级学号姓名，又因为级数发散，收敛，所以原级数发散．1．判断级数的收敛性．解：．即级数的一般项不以0为极限，从而该级数发散．§11-21．判断级数的收敛性．解：因为而级数收敛，根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛．14高等数学A2补充题班级学号姓名2．判断级数的收敛性．解：因为所以根据根值审敛法知此级数发散．3．判断级数的收敛性．解：因为所以根

2、据根值审敛法知此级数收敛．4．判断级数是条件收敛还是绝对收敛(1)；解：考虑级数因为函数当时单调减少，14高等数学A2补充题班级学号姓名所以而级数发散，根据比较审敛法知，级数发散．而为交错级数，满足，及，则这交错级数收敛，所以原级数条件收敛．(2)．解：考虑级数因为而级数收敛，根据比较审敛法知此级数收敛，所以原级数绝对收敛．(3)，其中为常数．解：考虑级数因为14高等数学A2补充题班级学号姓名．根据比值比值审敛法知，当时，级数收敛，所以原级数绝对收敛．当时，由于，则，所以原级数发散．当时，考察级数，因为由于级数发散，根据比较审敛法的极限形式知，级数发散．当时，原级数成为，发散；当时，原级数成为

3、14高等数学A2补充题班级学号姓名，此为交错级数，收敛．从而原级数条件收敛．综上，得当时，原级数绝对收敛；当时，原级数条件收敛．5．设级数都发散，且各项不为负数，考虑下列两级数及的收敛性．证明：因为，而级数发散，所以根据比较审敛法知，正项级数发散．正项级数的收敛性不确定．例如，级数发散；级数发散；则级数收敛．若，，则级数14高等数学A2补充题班级学号姓名发散．6．设级数，都收敛，证明必绝对收敛，其逆定理是否成立？证明：因为，已知级数，都收敛，则级数收敛，由正项级数的比较审敛法的推论知，级数收敛，从而级数绝对收敛．其逆定理不一定成立．例如，设级数，级数，则级数绝对收敛，但级数发散．§11-31．

4、求幂级数的收敛半径与收敛区间．14高等数学A2补充题班级学号姓名解：因为，所以收敛半径，收敛区间为．2．求幂级数的和函数．解：先求收敛域．由，得收敛半径．在端点处，幂级数成为，发散；在端点处，幂级数成为，发散．因此收敛域为．设和函数为，即，．于是14高等数学A2补充题班级学号姓名，．§11-41．将展开成的幂级数．解：已知而，所以．1．将函数展成的幂级数．解：已知所以14高等数学A2补充题班级学号姓名，由得即．所以．§11-71．将函数展开为傅里叶级数，并求级数的和．解：由于偶函数在上满足收敛定理的条件，并且拓广为周期函数时，它在每一点处都连续，因此拓广的周期函数的傅里叶级数在上收敛于．计算傅

5、里叶系数如下：．14高等数学A2补充题班级学号姓名．．故得函数的傅里叶级数展开式为．令，得．则，所以．1．已知,写出以为周期的傅里叶级数的和函数在上的表达式．解：解：由收敛定理知：14高等数学A2补充题班级学号姓名1．设,,求．解：由已给的余弦级数知，，．由于它为偶函数，所以．§11-81.将函数展为以4为周期的傅里叶级数．解：所给函数满足收敛定理的条件，周期所以计算傅里叶系数如下：14高等数学A2补充题班级学号姓名．．．．14高等数学A2补充题班级学号姓名故得函数的傅里叶级数展开式为．14