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1、第二章导数与微分习题2.12．设f(x)在点x=x0可导，把下面各题中的字母A分别用一个关于f¢(x0)的式子表示出来？(1)A=（假定f¢(x0)¹0）;(2)A=;(3)x0=0，f(0)=0且A=.解:(1)A===(2)A=(-2)=-2f¢(x0)(3)A===f¢(x0)3．求曲线y=f(x)在点M处的切线方程:(3)f(x)=x2,M(0,0).解:因为f¢(x)=2x,从而f¢(0)=0,因此,所求切线方程为y-0=f¢(0)(x-0),即y=0.5.求曲线y=x3+x上的与直线y=4x平行的切线.解:与直线y=4x平行的切线的斜率为4.因此y¢=3x2+1=4,从中求出切点
2、的横坐标x=±1.把它们代入曲线方程y=x3+x,求出切点的纵坐标为2和-2,即切点为(1,2)和(-1,-2).因此,所求切线方程为:4x–y-2=0和4x–y+7=0.6．设.讨论a,b取何值时，f(x)在点x=0处可导.解:因为f(x)在x=0处可导,所以f(x)在x=0处连续.从而(f(x)-f(0))=0,即[(ax+b)-b]=0且[sinx-b]=0.由此推出b=0.又,由于f(x)在x=0处可导,所以下面极限存在且相等==.因为==a,==1(因为b=0)所以a=1.总之,当a=1,b=0时f(x)在x=0处可导.8.讨论下列函数在x=0处的连续性和可导性：(1)y=
3、sin
4、x
5、;(2)y=.解:(1)因为
6、sinx
7、-sin0
8、=
9、sinx
10、=0,所以函数y=
11、sinx
12、在x=0处连续.又因为在x=0处的坐导数==-1,在x=0处的右导数==1,可见左右导数不相等,所以函数y=
13、sinx
14、在x=0处的导数不存在,即不可导.(2)因为x2sin-0=sin=0,所以函数y在x=0处连续.又因为=xsin=0,所以函数y在x=0处可导.习题2.22.求下列函数的导数:(6);(8).解:(6)y=xlnx-xy¢=lnx+x-1=lnx.(8)y=y¢==.3.求下列函数在给定点处的导数:(3)，求;(4)，求和.解:因为f¢(t)=()¢==-,所以,f¢(4)
15、=-.(4)因为f¢(x)=3´+x,所以,f¢(0)=-,f¢(2)=.习题2.31.求下列反函数的导数:(2);(4).解:(2)y¢=2arctan=arctan(4)y¢=·===2.求下列复合函数的导数:(2);(4);(6);(8);(10);(12).解:(2)y¢=-sinx22x+2cos(sinx)=-2xsinx2-sin2x.(4)y¢=·=.(6)y¢=·(1+).==.(8)y¢==.(10)y¢=(-cotxcssx+csc2x)=cscx.(12)y¢=(ecosxlnx)¢=ecosxlnx(-sinxlnx+cosx·)=xcosx(-sinxlnx+).
16、习题2.41.若存在，求下列函数的二阶导数:(1);(2).解:(1)y=f(x2)=f'(x2)2x=2xf'(x2),=2f'(x2)+2xf''(x2)2x=2f'(x2)+4x2f''(x2).(2)y=ln[f(x)]===.习题2.52.求曲线在点处的切线方程和法线方程.解:x+y=a两端对x求导得:x+y=0,从中解出=-(),所以
17、=-1.故所求切线方程为:x+y-a=0,所求法线方程为:x-y=0.7.计算由所确定的函数y=y(x)的二阶导数.解:==-=-tant,=-sec2t·=.习题2.61．的值从变到，试求函数的增量和微分.解:Dy=y(1.01)-y(1)=2(
18、1.01)2-1.01-(2-1)=0.0302,dy=(4x-1)dx=(4´1.01-1)·(1.01-1)=0.03035.计算下列函数的近似值:(2).解:设f(x)=lnx,取x0=1,x=1.01.则Dx=x-x0=1.01-1=0.01.因为f¢(x)=,从而f¢(x0)=1.故ln1.01=lnx0+f¢(x0)Dx=ln1+1·(0.01)=0.01.总习题21.利用导数的定义求导数:(2)设，求.(3)设，若函数f(x)在点x=0处连续且可导，求系数a和b.解:(2)因为f-¢(x)==1,f+¢(0)==1,故f¢(0)=1.(3)由f(x)在x=0处连续，得f(x)-
19、f(0)=0,即(ax+b)-1=ex-1=0.从中求得b=1.因为f(x)在点x=0处且可导，所以在点x=0处左右导数存在且相等,而f-¢(0)==1,f+¢(0)==a,故a=1.总之a=1,b=1.5.证明题:（1）设是可导函数，试证:若为偶函数时，则为奇函数;若为奇函数时，则为偶函数.（2）验证函数满足关系式.证明:(1)因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x).因为是可导函数，可上式两端对x求
