高中数学必修5第三章《基本不等式》教案

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1、《基本不等式》（第一课时）教材：高中数学必修5（人教版）第三章教学目标：★知识与技能：引导学生从问题中发现基本不等式，让学生理解、掌握基本不等式，并能运用它解决一些简单问题；培养他们的探究能力以及分析问题解决问题的能力。★过程与方法：1.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生观察、分析、猜想等能力；2.通过引导学生用多种方法证明推导基本不等式，培养学生的创新思维和探索精神；3.通过不等式的应用培养学生的应用意识。引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法。★情感、态度与价值观：在教学中发挥学生学习的主体作用，培养学生勇于探索的精神

2、，激发他们学习数学的兴趣。教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。教学难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；2、用基本不等式求最大值和最小值。教学方法：采用启发式教学和探究式教学的方法让学生掌握本节课的内容，并通过讲练结合的方法让学生巩固课堂所学的内容。教学手段：借助PowerPoint课件整合教材内容，利用几何画板作出动画营造轻松生动的课堂学习氛围。教学过程：教学环节问题情境师生活动设计意图一、创设情境引入新课在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦

3、图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？教师通过几何画板演示，让学生更直观的理解问题，引导学生从中抽象归纳出结论。创设问题情境，让学生利用弦图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式，激发学生的学习兴趣。6二、新课讲解探索研究抽象归纳可得：一般地，对于任意实数a、b，有，当且仅当a＝b时，等号成立.[问]你能给出它的证明吗？[问]怎样理解“当且仅当”？“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即；仅当a=b时，取等号，即.教师引导学生用作差法证明不等式让学生通过证明进一步

4、理解不等式，并为接下来的学习做准备.特别地，当a>0,b>0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？归纳总结：如果a、b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立.我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数.教师引导学生得出基本不等式，并给出规范的文字语言叙述。让学生理解基本不等式的来源，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.[问]你能给出它的证明吗？证法一：作差比较法证法二：（课本）要证①只要证②要证②,只要证③要证③,只要证④显然,④是成立的。当且仅当a=b时,④中的等号成立.教师引导学生通过类比上一个不等式

5、的证明方法进行证明.学生由课本的提示寻求第二种证明不等式的方法，完成课本填空.教师点评：该证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华.探究基本不等式的几何意义：如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DE，连接AD、BD.学生分小组讨论，交流看法，并指出图中长度为通过数形结合，赋予不等式6E能利用这个图形，得出不等式的几何解释吗？与的线段.几何直观。使学生进一步领悟不等式中等号成立的条件.三、讲解例题加深理解例1：已知

6、求函数的最小值，并求相应的x值.[问]函数的最值的概念是什么？如何运用基本不等式？例2（1）用篱笆围一块面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？[问]怎么把实际问题抽象为数学问题？教师讲解例题，强调取得最值的条件.引导学生通过例题得出结论：“积定和小，和定积大”.简单易懂、贴近生活的问题，帮助学生学会应用基本不等式.让学生体会基本不等式是解决最值问题的有力工具.下列命题正确吗？①对于任意实数a,b，均有；②当

7、时，由于，当且仅当时，即a=4时，等号成立。所以最小值为8.结论：运用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”.学生自主探究，教师指导，师生归纳总结.让学生加深对基本不等式的理解，明确其使用条件和成立的条件，突破重点和难点.四、练习巩固练习：（1）若的最小值为________,此时（2）若a>0,b>0,且a+b=4，则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____.学生完成练习，教师点评.通过练习巩固知识6五、课堂小结两个不等式：对任意实数a、b，有，当且仅当a＝b时，等号成立.若，则有，当且仅当a=b时，等号成立.三个注意：运用基本不

8、等式求函数的最大(小)值