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1、第八讲多元函数微分学一、考试要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7.了解二元函数的二阶泰勒公式(数一)。8.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，
2、会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。二、内容提要1、多元函数的概念：z=f(x,y),(x,y)ÎD2、二元函数的极限定义、连续3、偏导数的定义、高阶偏导、全微分z=f(x,y)=,=若则4、偏导连续可微可导(偏导)连续极限存在5、复合函数求导法则（1）多元与一元复合：设在t可微，在与t对应的点可微，则在t处可微，且（2）多元与多元复合：设在点存在偏导数，在与对应的点可微，则在点存在偏导数，且10，6、隐函数求导法则要求掌握三种情形：1）F(x,y,z)=0,2）3）Þ7、二元函数的二阶泰勒公式设z=f(x,y)在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，为此邻域内
3、一点，则有+8、多元函数的极值1)定义2)可能极值点3)取极值的必要条件4)取极值的充分条件设,,若,则为z=f(x,y)的一个极值点9、条件极值构造拉格朗日函数：由解得可能极值点，再由实际问题判断极值。10、最值：区域内部或边界上达到三、典型题型与例题题型一、基本概念题（讨论偏导、连续、可微之间的关系）例1、设，求10例2考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：①在点处连续，②在点处的两个偏导数连续，③在点处可微，④在点处的两个偏导数存在.若用“”表示可由性质P推出性质Q,则有（A）②③①.（B）③②①.（C）③④①.（D）③①④.例3、设1）在（0，0）点，函数是否连续？是否偏导
4、数存在？是否可微？一阶偏导数是否连续？2）求题型二、求多元函数的偏导数和全微分本题型包括如下几个方面的问题1、初等函数的偏导数和全微分2、求抽象函数的复合函数的偏导数3、由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分4、含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全微分5、由方程组所确定的隐函数的偏导数方法：直接求导法；公式法；微分形式不变性。10例4、设，求例5、设，求*例6、已知函数z=z(x,y)满足设对函数求证.10例7、设，有二阶连续偏导数，求例8、设有连续偏导数，和分别由方程和确定，试求例9设函数z=z(x,y)由方程确定,其中F为可微函数,且f¢2¹0,则___________.(A
5、)x.(B)z.(C)-x.(D)-z. 10例10设，函数由方程确定，其中可微，连续，求例11、设求10题型三：变量替换下表达式的变形*例12、设具有二阶连续偏导数，而，证明题型四反问题解题思路：由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论，求出待定的函数、参数等。例13、已知为某一函数的全微分，求10例14、设满足，求例15、设函数满足,试求函数f的表达式.题型五、多元函数的应用1、极值的求法步骤：1)解方程组，，得所有驻点；2)对每一个驻点，求，，的值；3）由的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点。2、最值的求法闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界
6、上达到，先求出在区域内部的所有驻点以及偏导数不存在的点，比较这些点与边界上点的函数值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最值（如可能极值点唯一，则极小（大）值点即最小（大）值点）。条件极值还可用拉格朗日乘数法来求。10例16、讨论二元函数的极值。例17求椭圆与直线之间的最短距离。*例18、（054）求f(x,y)=在椭圆域上的最大值和最小值.10*例19、(9934)设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两种要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=,其中假设两种要素的价格分别为.试问：当产出量为12时，两要素各投入多少时可以使得投
7、入总费用最小？例20（103）求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值.10
