高等数学考研知识点总结(3)

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1、第四讲定积分与反常积分一、考试要求1．理解（了解）定积分的概念。2．掌握定积分的性质及换元积分法与分部积分法，掌握（了解）定积分中值定理。3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式。5．了解反常积分的概念，会计算反常积分。二、内容提要1定义2若f(x)在[a,b]上连续，则存在，特别34性质：(1)(2)(3)(4)不等式性质(5)估值定理，则(6)积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则，注：可在开区间（a,b）内取到.一般地，f(x

2、)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号，则5定积分的计算(1)牛顿—莱布尼兹公式(2)换元积分法(3)分部积分法6反常积分（1）无界区域上的反常积分：设是在上的一个原函数，且均存在，则称收敛，且定义=；如果中有一个不存在，则称发散。同样可定义的收敛，发散，及其值。14如果存在使得和都收敛，则称收敛，且定义=+。（2）无界函数的反常积分：设在上连续但无界，而是在上的一个原函数，且存在，则称收敛，且定义=；如果不存在，则称发散。如果在上连续但无界，同样可定义的收敛，发散，及其值。设存在使得在和上均连

3、续但无界，如果和都收敛，则称收敛，且定义=+。（3）几个重要的反常积分（i）若则（ii）若则（iii）若则,0

4、C）P

5、限积分的问题[解题提示]对变限积分所定义的函数，可讨论其函数特性、极限、导数和积分等，特别F(x)是f(x)的一个原函数.若连续，可导，则需注意的是，如果被积函数中有变量，一定要把其分离出来，或变到积分限上例9、例10、(993)已知f(x)连续，且f(1)=1,的值.例11、设f(x)在x>0时连续，f(1)=3且，，试求f(x).14题型三、定积分的计算方法：1、定积分的计算与不定积分的计算类似，要熟练掌握如下几种基本方法分项积分法，凑微分法，换元积分法，分部积分法。2、与不定积分不同的是作变量替换时相应地要

6、换积分限，不必变量还原了。同时，要注意定积分计算的一些特点，如（1）奇（偶）函数在对称区间上的积分。（2）周期函数的积分，定积分的几何意义等。3、如果被积函数的原函数可求出，一般可用牛顿—莱布尼兹公式求定积分。1、利用常用的方法计算定积分(1)基本方法：牛—莱公式，换元积分法，分部积分法例12、求例13、求[，或，]例14、求14例15、求2、利用被积函数的奇偶性及积分区间的对称性方法：利用公式例16、求3、利用被积函数的周期性例17、求例18、设n为自然数，求I=4、利用定积分的几何意义计算积分例19、求145

7、、循环计算法例20、求[]（注：上限不一样）解：令x=-t,dx=-dt,x：0→时，t：→0,则I=于是故I=.例21、求解对右边第二个积分：作代换，令6、作变换则用此方法可以方便的求一些定积分例22、求14分析相当于，令解：令，则从而例23、求分析相当于，令解：令，则从而评注：利用变换，，则例24、求分析相当于，令解：令，则14评注：一般地7、利用分部积分法例25、设，求例26、（101）..8、几类特殊问题1)分段函数求积分例27、(043,4分)14设,则2)含有绝对值的积分例28、求分析注意到关于t的被

8、积函数中含有参数，积分应对的取值分情况讨论。但，的取值分三种情形，、、解：（1）当时，，（2）当时，，（3）当时，令，得分界点，注：在被积函数中若有参数，一定要讨论参数的取值，再积分。3)含有抽象函数的积分例29、已知f(p)=2,4)反常积分的计算反常积分是变限积分的极限，因此由定积分的运算法则及极限运算法则就可得到反常积分的运算法则。下对无穷积分作一说明，无界函数的积