高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.2 函数的简单性质 2.2.2 函数的奇偶性学案 苏教版必修1

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1、2．2．2　函数的奇偶性1．了解函数奇偶性的含义．2．会判断一些简单函数的奇偶性．3．了解奇函数和偶函数图象的特点．1．奇函数和偶函数(1)一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．(2)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．【做一做1】有下列函数：①y＝2x；②y＝；③y＝x2；④y＝x3＋x；⑤y＝x2－x；⑥y＝－；⑦y＝2x2－1；⑧y＝2

2、x

3、＋2．其

4、中奇函数有__________，偶函数有__________．答案：①④⑥　③⑦⑧2．奇偶性(1)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性．(2)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(1)在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈A，－x∈A，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称．(2)根据函数奇偶性的定义，函数可分为：①是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数；③是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数．【做一做2－1】已知f(x)＝ax3＋bx

5、－3中，f(－2)＝3，则f(2)＝__________．解析：因为f(－x)＋f(x)＝－6，所以由f(－2)＝3，得f(2)＝－9．答案：－9【做一做2－2】函数f(x)＝－x＋的奇偶性是__________．答案：奇函数如何判断函数的奇偶性？剖析：(1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为：①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．如函数f(x)＝x4＋1，

6、x∈［－1,2］．由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x≤2时，－x不在函数的定义域中，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f(x)＝x4＋1，x∈［－1,2］是非奇非偶函数．②再看f(－x)与f(x)的关系，这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇函数或偶函数．如f(x)＝x2＋x，g(x)＝x3＋1，它们的定义域都是R，因为f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x≠±f(x)，所以它是非奇非偶函数．同理可证g(x)＝x3＋1也是非奇非偶函数．③然后得出结论．(2)定义域关于原点对称，满足f(－x)＝－f(x)＝f(

7、x)的函数既是奇函数也是偶函数，如f(x)＝0(x∈R)．应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个．(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与－x的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．(4)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)来代替．(5)有时可以直接借助函数的图象与相关性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性．题型一判断函数的奇偶性【例1】判断

8、下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝a(x∈R)；(4)f(x)＝分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可．解：(1)函数的定义域为{x

9、x≠－1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(3)函数的定义域为R，关于原点对称，当a＝0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；当a≠0时，f(－x)＝a＝f(x)，即f(x)是偶函数．(4)函数

10、的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，此时f(－x)＝－x［1＋(－x)］＝－x(1－x)＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，此时f(－x)＝－x［1－(－x)］＝－x(1＋x)＝－f(x)；当x＝0时，－x＝0，此时f(－x)＝0，f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．综上，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．反思：根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数．说一个函数是非奇非偶函数，有时

11、只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验．有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一．题型二求函数解析式【例2】设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝x2－2x＋1，求f(x)的解析式．解：当x＜0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1