高中数学 学业分层测评13 向量的概念（含解析）新人教b版必修4

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1、学业分层测评(十三)向量的概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的个数是(　　)(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；(3)非零向量的单位向量是唯一的.A.0　　　　　　　B.1C.2D.3【解析】　(1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误.【答案】　B2.下列结论正确的是(　　)A.向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C.有向线段和是同一向量D.有向线段和的大小相等【解析】　向量除了可以用有向线段

2、表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段和的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D正确.【答案】　D3.给出下列四个命题：①若

3、a

4、＝0，则a＝0；②若

5、a

6、＝

7、b

8、，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则

9、a

10、＝

11、b

12、；④若a＝0，则－a＝0.其中正确的命题有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】　对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相

13、等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定.对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等.只有④正确.故选A.【答案】　A4.数轴上点A，B分别对应－1、2，则向量的长度是(　　)A.－1B.2C.1D.3【解析】　易知

14、

15、＝2－(－1)＝3，故选D.【答案】　D5.(2016·长春十一中期末)若

16、

17、＝

18、

19、且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形【解析】　由＝知四边形为平行四边形；由

20、

21、＝

22、

23、知四边形ABCD为菱形.故选C.【答案】　C二、填空题6.已知A，B，C是不共

24、线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.【解析】　因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.【答案】　07.给出以下五个条件：①a＝b；②

25、a

26、＝

27、b

28、；③a与b的方向相反；④

29、a

30、＝0或

31、b

32、＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号)【解析】　共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小.很明显仅有①③④.【答案】　①③④三、解答题8.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图2

33、14所示的向量中：图214(1)分别找出与，相等的向量；(2)找出与共线的向量；(3)找出与模相等的向量；(4)向量与是否相等？【解】　(1)＝，＝.(2)与共线的向量有：，，.(3)与模相等的向量有：，，，，，，.(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同.9.如图215所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.【导学号：72010041】图215【证明】　因为＝，所以

34、

35、＝

36、

37、且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以

38、

39、＝

40、

41、且DA∥CB.又因为与的方向相同，所以＝.同理可证

42、，四边形CNAM是平行四边形，所以＝.因为

43、

44、＝

45、

46、，

47、

48、＝

49、

50、，所以

51、

52、＝

53、

54、.又与的方向相同，所以＝.[能力提升]1.已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是(　　)A.＝B.＝或＝C.＝D.与的长度相等【解析】　因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又与a同方向，与b同方向，所以与方向关系不确定，所以A，B，C均不对.又与均为单位向量，所以

55、

56、＝

57、

58、＝1.【答案】　D2.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到

59、达C地，再从C地按西南方向飞行1000km到达D地.画图表示向量，，，并指出向量的模和方向.【解】　以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC＝2000km.又∠ACD＝45°，CD＝1000km.所以△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝1000km，∠CAD＝45°.故向量的模为1000km，方向为东南方向.