高中数学 学业分层测评14 向量的加法（含解析）新人教b版必修4

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1、学业分层测评(十四)向量的加法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为(　　)A.5　　　　　　　B.4C.3D.2【解析】　依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A.【答案】　A2.如图2115所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝(　　)图2115A.B.C.D.【解析】　＋＋＝＋＋＝.【答案】　B3.如图2116所示的方格中有定

2、点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)图2116A.B.C.D.【解析】　设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝.【答案】　C4.下列结论中，正确结论的个数为(　　)【导学号：72010044】①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定

3、相等.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】　当a＋b＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A，B，C三点共线时知③不正确；当向量a与向量b方向不相同时

4、a＋b

5、≠

6、a

7、＋

8、b

9、，故④不正确.【答案】　B5.在平行四边形ABCD中，若

10、＋

11、＝

12、＋

13、，则四边形ABCD是(　　)A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定【解析】　∵

14、＋

15、＝

16、

17、，

18、＋

19、＝

20、＋

21、＝

22、

23、，∴

24、

25、＝

26、

27、，∴▱ABCD是矩形.【答案】　B二、填空题6.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则

28、a＋b

29、＝________

30、，a＋b的方向是________.【解析】　如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝.所以

31、a＋b

32、＝

33、

34、＝＝8(km)，因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向.【答案】　8km　东北方向7.(2016·济南高一检测)当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.【解析】　当

35、a

36、＝

37、b

38、时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角.【答案】　

39、a

40、＝

41、b

42、三、解答题8.已知

43、

44、＝

45、a

46、＝3，

47、

48、＝

49、b

50、＝3，∠AOB＝60°，求

51、a＋

52、b

53、.【解】　如图，∵

54、

55、＝

56、

57、＝3，∴四边形OACB为菱形.连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.∵∠AOB＝60°，∴AB＝

58、

59、＝3，∴在Rt△BDC中，CD＝，∴

60、

61、＝

62、a＋b

63、＝×2＝3.9.如图2117，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点.求证：＋＋＝0.图2117【证明】　由题意知：＝＋，＝＋，＝＋.由平面几何可知，＝，＝.∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋＋)＋(＋)＝(＋＋＋＋)＋0＝＋＋＝＋＋＝0，∴＋＋＝0.[能力提升]1.在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则

64、

65、＋＋

66、等于(　　)A.1B.2C.3D.4【解析】　如图，∵＋＋＝＋＋＝，∴

67、＋＋

68、＝

69、

70、＝2

71、

72、＝2

73、

74、＝2.故选B.【答案】　B2.如图2118，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.图2118【解】　如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体的重力，且

75、

76、＝300(N)，∴

77、

78、＝

79、

80、cos

81、30°＝150(N)，

82、

83、＝

84、

85、cos60°＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.