无限冲激响应数字滤波器的设计

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1、§6.4无限冲激响应数字滤波器的频率变换设计法实际中通常要求的滤波器是低通、高通、带通、带阻、多带通或多带阻数字滤波器。前四种滤波器可以通过模拟低通滤波器转换得到，后两种滤波器用转换方法来设计尚需进一步研究，这里只讨论前四种。所谓原型滤波器是指截止频率为的低通滤波器。如果数字滤波器想由模拟低通滤波器转换得到，则可能有三种方法，如图6-21所示。（1）由模拟低通原型滤波器变成所需型式的模拟滤波器，然后再把它转换成数字滤波器；（2）由模拟低通滤波器直接转换成所需的数字滤波器。（3）由模拟低通滤波器先转换成数字低通原型，然后再用变量代换变换成所需的数字滤波器；数字化模拟域频率

2、转换模拟低通原型模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻(a)模拟-数字转换模拟低通原型数字低通、高通、带通、带阻(b)(c)数字域频率转换模拟低通原型数字低通数字低通、高通、带通、带阻数字化图6.21设计IIR滤波器的频率变换法实际上，第二种方法是第一种方法的特例。这种方法是将第一种方法的两步合成一步，而且，在第二步中的模拟到数字域的转换采用双线性变换。即把模拟低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式与用双线性变换得到相应数字滤波器的公式合并，就可直接从模拟低通原型通过一定的频率变换关系，一步完成各种类型数字滤波器的设计，因而简捷便利，得到普

3、遍采用。下面就上述三种转换方法分别予以讨论。6.4.1先由模拟低通原型滤波器转换成所需型式的模拟滤波器，然后再把它转换成数字滤波器的方法此法中的第二步在§6-2中已讨论过，既可以采用冲激不变法，也可以采用双线性变换法。但是由于冲激不变法只适用于限带滤波器的设计，不适合带阻、高通滤波器的设计，因此，一般采用的是双线性变换方法。对于高通、带阻滤波器，由于冲激响应不变法不能直接采用，或者只能在加了保护滤波器以后使用。而第一步，即由低通模拟原型到其他型式模拟滤波器的转换的方法没有讨论，所以，这是关键的一步，这种转换有各种各样的方法。下面给出一种将截止频率为1（rad/s）的低通

4、滤波器变换成另一个低通滤波器或带通、高通、带阻滤波器的一组变换关系式。一、第一步：归一化低通模拟原型到其他型式模拟滤波器的转换方法1、归一化模拟低通原型到模拟低通滤波器的转换显然可以采用函数：将模拟低通频率θ转换到Ω。其中，Ωc和Ω2存在映射关系（如图6-22所示）。于是可有，因此，于是，或延拓到S域（令：），则有若，Ωc=1；则得模拟低通原型滤波器到截止频率为Ω2的低通滤波器的映射公式：(6-64)令，，相应的频率变换公式则为（6-65）图6-22低通到低通滤波器的映射图6-23低通到高通滤波器的映射2、归一化模拟低通原型到模拟高通滤波器的转换可采用如下函数完成模拟低

5、通到模拟高通滤波器的转换（如图6-23所示）（6-66）由图可得映射关系：可以计算得到：代入（6-65）可得：令：，延拓到S域，得若令Ωc=1；则得模拟低通原型滤波器到截止频率为Ω2的高通滤波器的映射公式：（6-67）令，，相应的频率变换公式则为（6-68）3、归一化模拟低通原型到模拟带通滤波器的转换（1）归一化模拟低通到模拟带通的映射下列映射函数可以将模拟低通滤波器转换为模拟带通滤波器，如图6-24所示。图6-24低通到带通滤波器的映射（6-69）式中Ω0是一个待定常数。由图6-24可见，若设模拟带通滤波器的上下边界频率分别为Ω1，Ω2，模拟低通滤波器的边界频率为θc

6、，则可得如下的映射关系：代入（6-67）式可得：，解得：（6-70）其中，为带通滤波器的带宽。令：，延拓到S域，得（6-71）这里，s是模拟低通滤波器的拉普拉斯变量，而p则是模拟带通滤波器的拉普拉斯变量。Ω0则是一个常数。式（6-71）是将截止频率为的模拟低通滤波器转换为频率分别为Ω1，Ω2的模拟带通滤波器。而我们一般是先设计归一化低通原型滤波器，所以还需进一步转换。（1）归一化模拟低通原型到模拟带通的映射设低通原型滤波器的拉普拉斯变量是S1，而截止频率为的模拟低通滤波器的拉普拉斯变量是S，于是由式（6-64）可得（6-72）将（6-71）代入（6-72）可得模拟低通原

7、型滤波器到边界频率分别为Ω1，Ω2的带通滤波器的映射公式（6-73）令，，代入（6-73）并取绝对值（取绝对值是为了使频率取正值）得模拟低通原型滤波器和模拟带通滤波器的频率关系：（6-74）3、归一化图6-25低通到带阻滤波器的映射模拟低通原型到模拟带阻滤波器的转换（1）模拟低通到模拟带阻的映射下列映射函数可以将模拟低通滤波器转换为模拟带通滤波器，如图6-25所示。（6-75）式中Ω0是一个待定常数。由图6-25可见，若设模拟带阻滤波器的两个边界频率分别为Ω1，Ω2，模拟低通滤波器的边界频率为θc，则可得如下的映射关系：代入（6-72）可