上海市四区（杨浦、青浦、宝山、静安）2013届高三数学二模考试试题 理（含解析）

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1、2013年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2013•宝山区二模）已知全集U=R，集合A={x

2、x2﹣2x﹣3＞0}，则∁UA=　[﹣1，3]　．考点：并集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．解答：解：全集U=R，集合A={x

3、x2﹣2x﹣3＞0}={x

4、x＜﹣1或x＞3}，所以∁UA={x

5、﹣1≤x≤3}，即∁UA=[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．点评：

6、本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．　2．（4分）（2013•宝山区二模）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则

7、z

8、=　　．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得（1+i）z=2i，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质求得z的值，即可求得

9、z

10、．解答：解：∵复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），∴z=2i﹣iz，即（1+i）z=2i，∴z===1+i，故

11、z

12、=，故答案为．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．　3．（4分）（20

13、13•宝山区二模）已知直线2x+y+1=0的倾斜角大小是θ，则tan2θ=　　．考点：两角和与差的正切函数；直线的倾斜角．专题：三角函数的图像与性质．分析：有直线的方程求出直线的斜率，即得tanθ=﹣2，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ的值．解答：解：已知直线2x+y+1=0的倾斜角大小是θ，则有tanθ=﹣2，且0≤θ＜π．∴tan2θ===，故答案为．点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．　4．（4分）（2013•宝山区二模）若关于x、y的二元一次方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是　　．考点：两条直线的交点坐标．专题：数

14、形结合．分析：把给出的二元一次方程组中的两个方程看作两条直线，化为斜截式，由斜率不等即可解得答案．解答：解：二元一次方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点，由mx﹣y+3=0，得y=mx+3，此直线的斜率为m．由（2m﹣1）x+y﹣4=0，得y=﹣（2m﹣1）x+4．若二元一次方程组有唯一一组解，则两直线的斜率不等，即m≠1﹣2m，所以m．故答案为．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，考查了数形结合的解题思想，二元一次方程组的解实质是两个方程对应的直线的交点的坐标，是基础题．　5．（4分）（2013•宝山区二模）已知函数y=f（x）和函数y=log2

15、（x+1）的图象关于直线x﹣y=0对称，则函数y=f（x）的解析式为　y=2x﹣1　．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=f（x）和函数y=log2（x+1）的图象关于直线x﹣y=0对称，知f（x）是函数y=log2（x+1）的反函数，求出y=log2（x+1）的反函数即得到f（x）的表达式．解答：解：∵数y=f（x）的图象与函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的图象关于直线x﹣y=0对称，∴f（x）是函数y=log2（x+1）的反函数，∴f（x）=2x﹣1，（x∈R）；故答案为：y=2x﹣1．点评：本题考查反函数、求反函数的方法，属于基础题．　6

16、．（4分）（2013•宝山区二模）已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为　1　．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解答：解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y=±x，即y﹣x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．　7．（4分）（2013•宝山区二模）函数的最小正周期T=　π　．考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数

17、的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用二阶矩阵化简函数式f（x），再把函数y=f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．解答：解：函数=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）﹣2sinxcos（π﹣x）=cos2x+sin2x=sin（2x+），它的最小正周期是：T==π．故答案为：π点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．　8．（4分）（2013•宝山区二模）若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=　5　．考点：二项式