多元函数微分法及其应用(2)

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1、第八章多元函数微分法及其应用第一节：多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。教学难点：计算多元函数的极限。教学内容：第一节多元函数的基本概念一、区域讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念。由于讨论多元函数的需要，我们首先把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念。1．邻域设是平面上的一个点，是某一正数。与点距离小于的点的全体，称为点的邻域

2、，记为，即=，也就是={│}。在几何上，就是平面以上点为中心、为半径的圆的内部的点的全体。2．区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点的某一邻域，则称为的内点（画图8-1显示）。显然，的内点属于。如果的点都是内点，则称为开集。例如，点集中每个点都是1的内点，因此1为开集。如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点（可画图8-2显示）。的边界点的全体称为的边界。例如上例中，1的边界是圆周和=4。设D是开集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折

3、线上的点都属于D，则称开集D是连通的。连通的开集称为区域或开区域。例如，及都是区域。开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如{│≥0}及{│1≤≤4}都是闭区域。对于点集，如果存在正数K，使一切点∈与某一定点A间的距离

4、A

5、不超过K，即

6、A

7、≤k,对一切∈成立，则称为有界点集，否则称为无界点集。例如，{│1≤≤4}是有界闭区域，{│>0}是无界开区域。1．维空间我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线。在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元数组一一对应，从而二元数组全体表示

8、平面上一切点的集合，即平面。在空间引入直角坐标系后，空间的点与三元数组（）一一对应，从而三元数组（）全体表示空间一切点的集合，即空间。一般地，设为取定的一个自然数，我们称元数组（）的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标。维空间记为Rn。维空间中两点及间的距离规定为。容易验知，当=1，2，3时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内两点的距离。前面就平面点集来陈述的一系列概念，可推广到维空间中去。例如，设，是某一正数，则维空间内的点集=就定义为点的邻域。以邻域概念为基础，可

9、定义内点、边界点、区域、聚点等一系列概念。二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1圆柱体的体积V和它的底半径、高之间具有关系。这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定。例2一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间具有关系=，其中为常数。这里，当、在集合时，的对应值就随之确定。例3设是电阻、并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系对应值就随之确定。上面三个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽象出这些共性就可得出以下二元函数的定义。定义一设是平

10、面上的一个点集。如果对于每个点，变量按照一定法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数（或点的函数），记为（或）。点集称为该函数的定义域，称为自变量，也称为因变量。数集称为该函数的值域。是的函数也可记为，等等。类似地可以定义三元函数以及三元以上的函数。一般的，把定义1中的平面点集换成维空间内的点集，则可类似地可以定义元函数。元函数也可简记为，这里点。当时，元函数就是一元函数。当时，元函数就统称为多元函数。关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以使这个算式有确定值u的

11、自变量所确定的点集为这个函数的定义域。例如，函数的定义域为（图8-3），就是一个无界开区域。又如，函数的定义域为（图8-4），这是一个闭区域。x+y=0图8-4图8-3设函数的定义域为。对于任意取定的点，对应的函数值为。这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点。当遍取上的一切点时，得到一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形（图8-5）。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。例如，由空间解析几何知道，线形函数的图形是一张平面；由方程所确定的函数的图形是球心在圆点、半径的为球面，它的定义域是圆形闭区域。在D的内

12、部任一点处，这函数有两个对应值，一个为，另一个为—。因此，这是多值函数。我们把它分成两个单值函数：及，前者表示上半球面，后者表示下半球面。以后除了对多元函数另做声明外，总假定所讨论的函数是单值的；如果遇到多值函数，可以把它拆成几个单值函数后再分别加以讨论。三、多元函数的极限我们先讨论二元函数当，，即时的极限。这里表示