全国考研数三试题及解析

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1、2010年全国研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若,则a等于(C)(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】=,因此=2(2)设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解,若常数,(A)(A)==  (B)=-=-(C)=,=  (D)=,=【解析】根据已知有。于是将分别代入方程左边得++为方程解,为齐次方程解,解得(3)设函数,具有二阶导数,且,若是的极值,则在取极

2、大值的一个充分条件是(B)(A)<0   (B)>0(C)<0   (D)>0【解析】根据已知得,。因此=,故要想为的极大值点,只需<0即可。即=。因此只需(4)设=,=,,则当充分大时有(C)(A)<<,  (B)<<(C)<<   (D)<<【解析】===0,====0,所以<<(5)设向量组:可由向量组Ⅱ:,线性表示,下列命题正确的是(A)(A)若向量组线性无关,则(B)若向量组线性相关,则>(C)若向量组Ⅱ线性无关,则(D)若向量组Ⅱ线性相关,则>【解析】如果>则向量组一定线性相关。选项B、

3、D反例:向量组为(1,0)、(2,0),向量组Ⅱ也为(1,0)、(2,0)。选项C反例向量组为(1,0)、(2,0),向量组Ⅱ也为(1,0)(6)设A为4阶实对称矩阵,且+=0,若的秩为3,则相似于(D)(A)   (B)(C)  (D)【解析】根据已知,方阵的特征值应满足,即或-1。又因此的特征值为0和-1。故相似于(7)设随机变量X的分布函数,则(C)(A)0(B)(C)(D)【解析】(8)设的标准正态分布的概率密度,为[-1,3]上均匀分布的概率密度,若(>0,>0)为概率密度,则,应满足(A

4、)(A)2+3=4(B)3+2=4(C)+=1(D)+=2【解析】根据密度函数的性质,=+=,因此2+3=4二、填空题:第9~14小题,每小题4分,共24分。(9)设可导函数由方程=确定,则=【解析】=两边对x求导得=.代入得=(10)设位于曲线下方,轴上方的无界区域为G,则G绕轴旋转一周所得空间区域的体积为【解析】体积====(11)设某商品的收益函数为,收益弹性为,其中p为价格,且,则=【解析】由已知条件有,即=,两边同时积分有,即所以有,再由条件,代入,得C=,所以=(12)若曲线有拐点(-1

5、,0),则=【解析】根据条件得,,其中。于是得到方程,解得(13)设A,B为3阶矩阵,且,=2,,则【解析】因为,所以=3(14)设是来自总体的简单随机样本,记统计量,则=【解析】,因此====三、解答题:第15~23小题,共94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)(本题满分10分)求极限【解析】===1(16)(本题满分10分)计算二重积分其中D由曲线与直线及围成【解析】该区域D关于轴对称,令区域D在第一象限的区域为===2=则有=2===(17)(本题满分10分)求函数在约束条件

6、下的最大值和最小值【解析】令,构造辅助函数,解下列方程组:=+=0=+=0=+=0=解得当时点和点时点和点将得到的4个点代入中可得:=,==,=可知函数在条件下的最大值和最小值分别为、(18)(本题满分10分)(Ⅰ)比较与的大小,说明理由;(Ⅱ)记,求极限【解析】(Ⅰ)由题意可知积分区域相同,比较两式的大小只需要比较被积函数在区域内的大小即可,即比较和的大小在(0,1)区间上<0所以上边两式变为,令=(Ⅱ)因为===+又因为==0,所以=0由夹逼定理可知0=所以=0(19)(本题满分11分)设函数在

7、内连续,在内存在二阶导数,且。(I)证明:存在,使得;(II)证明:存在,使得。【解析】(I)设,则根据拉格朗日中值定理,存在,使即。由题设知,故(II)介于在上的最大最小值之间,根据连续函数的介值定理,存在。由题设知,故。由于,且,根据罗尔定理,存在,,使,从而存在,使得(20)(本题满分11分)设,,已知线性方程组存在两个不同的解。(I)求,;(II)求的通解。【解析】(I)设为的2个不同的解,则是的一个非零解,故。于是或当时,因为,所以无解,舍去当时,对的增广矩阵施以初等行变化因为有解,所以(

8、II)当,时,所以的通解为,其中为任意常数。(21)(本题满分11分)设,正交矩阵使得为对角矩阵,若的第一列为,求,。【解析】由题设,为的一个特征向量,于是,解得。由于的特征多项式,所以的特征值为,,属于特征值的一个单位特征向量为;属于特征值的一个单位特征向量为令,则有,故为所求矩阵(22)(本题满分11分)设二维随机变量的联合密度函数为,,。求及。【解析与点评】先考虑的边缘密度,由公式知,,这里及恰好为正态分布以及的密度函数,故。又由于当时,有,(23)(本题满分1

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