数学：1.4《导数及其应用》素材(新人教a版选修

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1、高考导数问题的命题研究与备考策略1.考查形式与特点(1).高考对函数概念的考查主要有:求函数的定义域、值域及反函数。这类题型直接通过具体问题找出函数关系，再研究函数的定义域、值域及反函数。(2).在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态——即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近两年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点。(3).以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，在考查函数内容的同时也考查能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题。(4).函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，它们是高考中的重

2、要题型之一．特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，这类考题在近几年考查明显增加．此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧。二要灵活、准确地列出模型函数．(5).近几年．为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证能力(代数推理题是高考的热点题型)及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．这类试题或者是函数与其他知识的糅合，或者是多种方法的渗透，每道考题都具有鲜明的特色，值得深思．(6).函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合

3、在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题综合在一起编拟的新颖考题，成为近几年高考中的高档解答题，以综合考查应用函数知识分析、解决问题的能力坝I试对函数思想方法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度．这类试题每年至少会有一个．(7).高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与

4、最小值问题，从而进一步地解决实际问题．②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一.函数y=f(x)在X=Xo处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处的切线斜率．③运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中所占的地位是比较重的．2.命题趋势由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于课程标准．(1)对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现．(2)函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用

5、层次，难度较大．(3)通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之一．(4)新课程新增内容中与函数有关的内容——函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大.典例剖析例1.已知函数f(x)=

6、x2-2ax+b

7、(x∈R)．给出下列命题：①f(x)必是偶函数；8②f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于直线x=1对称；③若a2-b≤0，则f(x)在区间[0，+∞]上是增函数；④f(x)有最大值

8、a2-b

9、．其中正确的命题的序号是_______．解析：①显然是错误的；②由f(O)=f(2)有

10、b

11、=

12、4-4a+b

13、,而f(x+1)=

14、(x

15、+1)2-2a(x+1)+b

16、=

17、x2+(2-2a)x-2a+b+l

18、,f(1-x)=

19、(1-x)2-2a(1-x)+b

20、=

21、x2-(2-2a)x-2a+b+1

22、，f(x+1)≠f(l-x)．故f(x)不是关于x=1对称，所以②不对．③f(x)=

23、(x-a)2+b-a2

24、，当a2-b≤0时，b-a2≥0，所以f(x)=(x-a)2+b-a2，故当x≥a时．f(x)单调递增的．故③正确．④当a2-b>0时,f(a)=

25、b-a2

26、=a2-b其图象如图，所以④错误．答案③剖析：函数的性质是高考试题考查的热点之一，本题涉及了函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值，综合性较强．对于

27、多项选择填空题，由于各选项相互独立，解答时应逐一检验判断．例2.已知二次函数y=f(x)经过点(0，10)，导函数f/(x)=2x-5，当x∈(n，n+1](x∈N*)时，f(x)是整数的个数记为an．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn=，求数列{an+bn}的前n项和Sn(n≥3).解析:(1)由f/(x)=2x-5可以设此二次函数为f(x)=x2-5x+c(c为常数)．因f(x)图象过(0，10)，故c=10，故二次函数为f(x)=x2-5x+10=(x-)2+，又因x∈(n，n+1)(n∈N*)时，f(x)为整数的个数为a