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《高三数学复习 专题46 空间向量及其运算学案 理 苏科版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学案46 空间向量及其运算【导学引领】（一）考点梳理1．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定量对空间任意两个向量a，b(b≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.推论 如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1.(
2、3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.2．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b则
3、a
4、
5、b
6、cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b即a·b＝
7、
8、a
9、
10、b
11、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝
12、0(a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
13、a
14、＝＝，cos〈a，b〉＝＝.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝
15、
16、＝.【自学检测】1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②
17、a
18、－
19、b
20、＝
21、a＋b
22、是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号是___
23、_____．2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且
24、
25、＝1，
26、
27、＝2，
28、
29、＝3，则
30、
31、等于________．3．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．4．已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，这四个点________(填“共面”或“不共面”)．5．(2010·广东卷)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－
32、a)·(2b)＝－2，则x＝________.【合作释疑】空间向量的线性运算【训练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.【训练2】如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．共线、共面向量定理的应用【训练1】(2012·上饶调研
33、)如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；．【训练2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC边上的中点，试证A1B∥平面AC1D.空间向量性质的应用【训练1】已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝A，b＝A，(1)若
34、c
35、＝3，且c∥B，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；(4)若λ
36、(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系．【训练2】如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．【当堂达标】1．给出下列四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.其中真命题的序号是________．2
