高三数学复习 43 空间向量及其运算学案.doc

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1、43.空间向量及其运算一、自主梳理1．空间向量的概念名称定义空间向量在空间中，具有和的量叫做空间向量，其大小叫做向量的或单位向量长度或模为的向量零向量的向量相等向量方向且模的向量相反向量相反且相等的向量共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，则称这些向量叫做共线向量或a平行于b记作共面向量能平移于同一的向量叫做共面向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得.(3

2、)空间向量基本定理：如果三个向量e，e，e不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组{x，y，z}，使得.其中，{e，e，e}叫做空间的一个．3．线性运算的运算律(1)加法交换律：a＋b＝；(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝；(3)数乘向量分配律：λ(a＋b)＝；(4)向量对实数加法的分配律：a(λ＋μ)＝.(5)数乘向量的结合律：λ(μa)＝4．空间向量的数量积及运算律：（1）夹角及夹角范围（2）数量积（3）运算律5．空间向量的坐标运算（1）共线（2）垂直（3）数量积（4）模、夹角及距离公式二、例题：1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

3、设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，

4、λa＋b

5、＝，λ>0，求λ的值3.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA边的中点，求证（1）E、F、G、H四点共面（2）求证BD∥面EFGH（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O,有三、点击高考1、设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是(　　)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无

6、法确定2、(2010·广东高考改编)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，求x的值.总结：1．用已知向量表示未知向量的方法(1)用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．2.点共面问题点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B

7、、C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件．