几何证明与综合应用

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1、§6.几何证明与综合应用☆海南中考典例精析☆例1．【06海南中考】如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F.（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AE=FC+EF.解：(1)ΔAED≌ΔDFC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC，∠ADC=90º.又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90º,∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90º，∴∠EAD=∠FDC.∴ΔAED≌ΔDFC（AAS）.(2)∵ΔAED≌ΔDFC，∴AE=DF，ED=FC.∵DF=D

2、E+EF，∴AE=FC+EF.例2．【07海南中考】如图2，在正方形中，点在边上，射线交于点，交的延长线于点.（1）求证：≌；（2）过点作，交于点，求证：；图2（3）设，，试问是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴DA=DC，∠1=∠2=45，DE=DE∴≌（2）∵≌∴∠3=∠4∵CH⊥CE，∴∠4+∠5=90又∵∠6+∠5=90，∴∠4=∠6=∠3∵AD∥BG，∴∠G=∠3∴∠G=∠6∴CH=GH又∵∠G+∠5=∠G+∠7=90∴∠5=∠7，∴CH=FH∴FH=GH10（3）解：存在符合

3、条件的x值此时∵∠ECG>90，要使△ECG为等腰三角形，必须CE=CG，∴∠G=∠8又∵∠G=∠4，∴∠8=∠4∴∠9=2∠4=2∠3∴∠9+∠3=2∠3+∠3=∴∠3=∴ABCPDE图3例3．【08海南中考】如图3，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x,△PBE的面积为y.①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.（1）证法一：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BC=DC,∠

4、BCP=∠DCP=45°.∵PC=PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）.∴PB=PD，∠PBC=∠PDC.又∵PB=PE，∴PE=PD.②（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴PE⊥PD.ABCDPE12H（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，

5、∴PE⊥PD.综合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.………（7分）（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.∵AP=x，AC=，ABCPDEF∴PC=-x，PF=FC=.BF=FE=1-FC=1-()=.∴S△PBE=BF·PF=().10即(0＜x＜).②.）∵＜0，∴当时，y最大值.例4．【09海南中考】如图4-1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；（2）如图4-2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合

6、，HK为折痕，求sin∠ACH的值.图4-1ABCDEF30°图4-2ABCDKH30°证明：（1）①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,∴∠ABC=60°.在等边△ABD中，∠BAD=60°,∴∠BAD=∠ABC=60°.∵E为AB的中点，∴AE=BE.又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC.②在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点∴CE=AB,BE=AB，∴∠BCE=∠EBC=60°.又∵△AEF≌△BEC,∴∠AFE=∠BCE=60°.又∵∠D=60°,∴∠AFE=∠D=60°.∴FC∥BD又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴A

7、D∥BC，即FD∥BC∴四边形BCFD是平行四边形.（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°∴∠CAH=90°在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a∴AB=2BC=2a，∴AD=AB=2a.设AH=x，则HC=HD=AD-AH=2a-x.在Rt△ABC中，AC2=(2a)2-a2=3a2.在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=(2a-x)2.10解得x=a，即AH=a.∴HC=2a-x=2a-a=a☆基础达标演练☆三、解答题ADCFEB1.如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当

8、时，求证:□ABCD是矩形．2.（09