注册电气公共基础第15讲高等数学

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1、格林公式定理设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x，y）及Q（x，y)在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域D上的二重积分与沿闭区域D的正向边界曲线L上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。（四）例题【例1-3-22】计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（线密度μ＝1）。【解】取圆弧的圆心为原点，对称轴为x轴，并使圆弧位于y轴的右侧（图1一36)，则L的参数方程为于是【例1-3-23】

2、计算y2dx，其中L是半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图7页1-3-7）。【解】L是参数方程为当参数从0变到的曲线弧。因此．五、积分的应用（一）定积分的应用1．几何应用（1）平面图形的面积1）直角坐标情形设平面图形由曲线y=f（x）、y=g（x)（f（x)≥g（x)）和直线x=a、x=b所围成（图1-3-8)，则其面积7页2）极坐标情形设平面图形由曲线＝（)及射线＝a、＝所围成（图1-3-9)，则其面积（2）体积l）旋转体的体积设旋转体由曲线y=f（x）与直线x=a、x=b及x轴所围成

3、的平面图形绕x轴旋转一周而成（图1-3-10)，则其体积（3）平面曲线的弧长l）直角坐标情形设曲线的方程为y=f（x)（axb),f（x）在[a，b]上具有一阶连续导数，则其弧长2）参数方程情形设曲线的参数方程为x＝（t),y＝（t)（at）,（t）、（t）在[a,7页]上具有连续导数，则其弧长3）极坐标情形设曲线的极坐标方程为＝（）（a），（）在［a，］上具有连续导数，则其弧长s=（2）水压力设有平面薄板，铅直放置水中，取薄板所在平面与水平面的交线为y轴，x轴铅直向下（图1-3-12)，设薄板的形状为

4、则薄板一侧所受的水压力为其中为水的密度，g为重力加速度。（二）二重积分的应用1．曲面的面积设曲面的方程为z=f（x，y)，在xOy面上的投影区域为D,f（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则曲面的面积2．平面薄片的质量、重心及转动惯量7页设平面薄片占有xOy面上的区域D，薄片在D上任一点P（x,y）处的面密度为μ（x,y)，则薄片的质量为薄片重心的坐标为薄片关于x轴、y轴的转动惯量为（三）例题【例1-3-25】计算由两条抛物线：y2=x、y＝x2所围成的图形的面积。【解】两条抛物线所围成的图形如图1-3

5、-13所示，x的变化区间为[0,1]，所求面积为【例1-3-26】计算心形线＝a（1+cos）（a>0)所围成的图形的面积。【解】心形线所围成的图形如图1-3-14所示，的变化区间为[-,]。所求面积为7页【例1-3-27】计算由椭圆=1所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积为【解】这个旋转体也可看作是由半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成。x的变化区间为「-a,a］。所求体积为故应选（C）。【例1-3-29】计算摆线x=a（-sin)，y＝a（1－cos）的一拱（02）（图l-3-15）的长度

6、。【解】的变化区间为[0,2],x'（）=a（1－cos)，y’（）=asin，所求弧长为【例1-3–30】求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量μ）对于其直径边的转动惯量。【解】取坐标系如图1-3-16所示，薄片所占闭区域7页所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量其中M=为半圆薄片的质量。7页