平面向量数量积的坐标表示(2)

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1、5.7平面向量数量积的坐标表示向量数量积的基本计算例１．已知，，，求和．分析：运用平面向量数量积的坐标进行计算．解：；．小结：通过本题检验平面向量数量积的运算不具有结合律．方程与数量积结合例1、在直角坐标系中，已知两点，；，是一元二次方程两个不等实根，且、两点都在直线上．（1）求；（2）为何值时与夹角为．分析：根据韦达定理知，而，，则，从而，可求.我们知道，怎样用表示呢？由本题意可推导出，，由此可用表示，进而可得的方程，并解出的值．解：（1）、是方程两个不等实根，解之，又、两点都在直线上，（2）由题意设，，同理当与夹角为时，解

2、之即为所求．小结：通过本题解答可知，当时，为定值，且点，关于直线对称．当时，由得，此时两点坐标是，或，，本题也可以得出以下结果，当或时，是锐角三角形；当时，是直角三角形；当，且时，钝角三角形．利用坐标形式证明向量垂直例1．已知两个非零向量和满足，求证：．分析：将已知条件代数化，通过代数变换得到代数结论，再将代数结论几何化．证明：设，，则，．，，化简得，即．小结：本题运用向量的坐标形式来解决垂直问题，其实并不一定非用这个方法，而且这个方法还不是最简单的，只是通过本题使学生熟悉这种证明方法．利用坐标证明向量相等与垂直例1．如图所示

3、，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上的一点，PFCE是矩形．试用向量法证明：（1）；（2）．分析：如果我们能用坐标来表示与，则要证明的两结论，只要分别用两点间的距离公式和两向量垂直的充要条件进行验证即可．因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证．证明：以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立如图所示的坐标系，设正方形的边长为l．，则．于是．（1），，∴．（2），∴．小结：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种

4、解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁．平面向量的坐标形式最值例1、平面内有向量，点X为直线OP上的一个动点．（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求的值．分析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据的最小值，求得，而是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决．解：（1）设．∵点X在直线OP上，∴向量与共线．又，∴，即．∴．又，∴．同样．于是由二次函数的知识，可知当时，有最小值－8．此时．（2）当时，即时，有∴．小结：由于

5、X是OP上的动点，则向量均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积也处在不确定的状态，这个数量积由与的模与及它们的夹角三个要素同时决定的，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数．另外，求出与的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值．求四边形的顶点例1、已知四边形，，，，，，求：点的坐标．分析：由可设点坐标为，再由向量坐标运算公式，可求得，，根据及坐标公式，列得关于的方程解之即可．解：可设点坐标为由，，得，解之，点坐标是小结：有了向量数量积的坐标表示，把向量数量积化为坐标问题，不需向量的模和向量的夹角，

6、在直角坐标系中解决有关图形和点的坐标等问题，具有一定的优越性．思考：已知等边三角形（按顺时针方向排列）的，，求点坐标．略解：，，，与夹角为，则.设点坐标，与联立解之，向量垂直证明及参数确定例1．已知：．（1）求证：与互相垂直；（2）若与大小相等，求（其中且）．分析：利用向量垂直的充要条件及向量模的公式解题．解：（1）依题意知，又所以．（2）由于，所以．又因为，所以，且，故．又，所以．小结：对于（1）还有另解：由于，所以；对于（2）也有另解：由得，进一步有，由此可得．向量的夹角例1．已知两个非零向量和满足，求与的夹角的余弦值．分

7、析：要求与的夹角的余弦值，首先要确定向量和，由于已知是向量的坐标形式，所以运用方程的思想确定和的坐标形式．解：设，，，解得即，．于是且，．小结：设计本题的意图是将向量加减法的坐标形式与本节知识结合．