2椭圆的简单几何性质

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1、2.2.2　椭圆的简单几何性质课时目标　1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝____，长轴长＝____焦点焦距对称性对称轴是______，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔有______组实数解，即Δ

2、______0.直线与椭圆相交⇔有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5,3，B．10,6，C．5,3，D．10,6，2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝13．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)A.B.C.D.4．如图所示，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a>

3、b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)A.B．1－C.－1D.5．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)A．至多一个B．2C．1D．0A．(0,1)B.C.D.题　号123456答　案二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等

4、于______．9．椭圆E：＋＝1内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为____________．三、解答题10.如图，已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．能力提升12．若一

5、个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.13．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面

6、积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．2.2.2　椭圆的简单几何性质知识梳理1.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1＋＝1范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c＝2对称性对称轴是坐标轴，对

7、称中心是原点离心率e＝，0　没有　<作业设计1．B　[先将椭圆方程化为标准形式：＋＝1，其中b＝3，a＝5，c＝4.]2．A　3.B4．A　[由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.]5．B　[∵>2，∴<4.∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．]∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，设点P

8、为椭圆上任意一点，则

9、OP

10、>c恒成立，由椭圆性质知

11、OP

12、≥b，其中b为椭圆短半轴长，∴b>c，∴c22c2，∴2<，∴e＝<.又∵0b>0)，将点(－5,4)代入得＋＝1，又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.8.解析　由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点