幂级数的应用(1)

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1、第六节幂级数的应用分布图示★函数值的近似计算★例1★例2★计算定积分★例3★例4★求常数项级数的和★例5★例6★欧拉公式★内容小结★课堂练习★习题12-6★返回内容要点一、函数值的近似计算：级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算.在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便.二、计算定积分：许多函数,如等，其原函数不能用初等函数表示，但若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，

2、则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分.三、求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法.这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下：（1）对所给数项级数构造幂级数；（2）利用幂级数的运算性质，求出的和函数；（3）所求数项级数四、欧拉公式例题选讲函数值的近似计算例1（E01）利用求的近似值

3、，并估计误差.解利用所给近似公式因为的展开式是收敛的交错级数，且各项的绝对值单调减少，所以因此，若取则得其误差不超过例2（E02）计算的近似值,要求误差不超过0.0001.解利用二项展开式，并取即得这个级数收敛很快.取前两项的和作为的近似值，其截断误差为故取近似式为为了使舍入误差与截断误差之和不超过计算时应取五位小数，然后再四舍五入.因此最后得例3（E03）计算的近似值，精确到10.解利用的麦克劳林展开式,得所以收敛的交错级数因其第四项故取前三项作为积分的近似值,得例4（E04）计算定积分的近似值，

4、要求误差不超过0.0001（取）.求常数项级数的和解利用指数函数的幂级数展开式得:于是，根据幂级数在收敛区间内逐项可积,得取前四项的和作为近似值，则其误差为而所求近似值为例5（E05）求级数的和.解构造幂级数可知所以例6（E06）求级数的和.解构造幂级数可知因为所以课堂练习1.计算e的近似值,使其误差不超过2.利用幂级数展开式,求极限3.求常数项级数的和.欧拉(Euler，1707~1783)欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去

5、逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣是是数学。在上大学时，他已受到约翰第一。伯努利的特别指导，专心研究数学，直到18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，於19岁时(1726年)开始创作文章,并获得巴黎科学院奖金.1727年,在丹尼尔.伯努利的推荐下,到俄国的彼得堡科学院从事研究工作.并在1731年接替丹尼尔第一.伯努利,成为物理学教授.在俄国的14年中,他努力不懈地投入研究,在分析学、数论

6、及力学方面均有出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题。1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普兽士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林斯间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明。但以其惊人

7、的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。欧拉是18世记数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作。欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程

8、等）的产生与发展奠定了基础。欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出函数在偶数点的值：他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示。此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数的值，其值近似为0。57721566490153286060651209…在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问题过程中，创立了微分方程学。当中，在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数为线性齐次方程的问题，对於非齐次方程，他提出了一种降低方程