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《曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第二章曲面论第十三节曲面上法曲率的最大值、最小值、高斯曲率、平均曲率、极小曲面根据法曲率的几何意义,法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯曲方向,因此,理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化.但实际上是做不到的,因为曲面在一点处有无穷多个切方向.于是我们自然提出这样两个问题:法曲率随方向变化的变化规律是什么?法曲率是否有最大值和最小值?下面针对这两个问题展开讨论.得到的结论是:由Euler公式给处了曲面上一点沿各个方向,法曲率的变化规律,而且法曲率有最大值和最小值,它们被称为主曲率,最后由
2、主曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念.23一、法曲率的最大值、最小值曲面上一点沿一方向上的法曲率为，（1）我们考虑法曲率的最大值、最小值问题。设，则有，这样一来，所求问题转化为求二次分式的极值问题。23，，此二次方程有根，当且仅当，。设是方程，（2）的两个根，则有，于是的最大值、最小值分别为，且由方程（2）所解出。由韦达定理，便得，。将代入23，解出两个根，就得到使达到最大值、最小值的方向。对曲面上一给定点,法曲率是切方向的函数,称法曲率的每个临界值(criticalvalue)为曲面在这一点的主曲率;对
3、应的方向称为曲面在这一点的主方向.二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率设分别为曲面上一点处的法曲率的最大值、最小值，则将它们的乘积称为曲面在这一点的高斯(Gauss)曲率，通常以表示，，它描述了曲面在一点处总的弯曲程度,23又称为总曲率或全曲率；它们的平均数称为曲面在这一点的平均曲率，通常以表示，，它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度,又称为中曲率。由方程（2）及韦达定理，便得，。。三、计算高斯(Gauss)曲率、平均曲率的例题设是半径为的球面，由于，所以球面的高斯曲率，23平均曲率。【例1】求正螺面的主曲率,总曲率
4、和全曲率.【解】直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下，，由此便知正螺面上所有点都非脐点,于是其上每点处都有两个不相等的主曲率.将基本量代入法曲率的计算公式,得到，由于，所以，有，于是正螺面的主曲率k1;k2,总曲率K和平均曲率H分别为，，23。【例1】设是一条空间正则曲线,是自然参数，其切线构成的曲面为，其中是的单位切向量.求的Gauss曲率.【解】记曲线C的曲率和挠率分别为，基本向量为。则，于是进一步计算得到，，；所以，，23因此曲面S的Gauss曲率为。例1、求曲面：的高斯曲率、平均曲率。解我们已经得出第一
5、类基本量为，，；第一基本形式为；第二类基本量为，23，第二基本形式为。代入计算，可得，。容易验证。求上半椭球面上的高斯曲率；求下半椭球面上的高斯曲率。例2、求旋转曲面：。23（这里，）的高斯曲率、平均曲率。解，，，，，，，，，，，23，，。。，则有。，。将基本量代入，，可算出，23。（2）若的全曲率处处为零,试判断曲面的形状?(3)证明:若的经线有垂直于旋转轴的切线,则切点是曲面上的抛物点.(2)由(1)知,全曲率处处为零的充要条件是，(i)若，则f(常数),因而曲面是垂直于z-轴的平面.(ii)若，即，那么，当常
6、数时,曲面为圆锥面;当常数时,曲面为圆柱面.(3)若经线的切线垂直于旋转轴(即z-轴),则从而K=0,所以切点为抛物点.特别地，将平面上曲线，绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为，，23，，，，，，，，，。23,将基本量代入，，可算出。，。将平面上曲线（，）绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为，。三、极小曲面23定义一个曲面如果它在每一点处的平均曲率，则称之为极小曲面。可以证明，给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面，即平均曲率为零的曲面。平面是仅有的极小可展
7、曲面。除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。三、旋转的极小曲面现在我们要寻找出旋转的极小曲面，即求出的旋转曲面。将平面上曲线，绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为。我们已知23。由可得，，由此得，即积分后，我们得到，。从而可得,上式可变成23,积分后，得,于是,又，故得，这里省去了积分常数，因为它只不过表示沿平行于旋转轴的平移而己。因此因此曲面是由悬链线23旋转而成，称为悬链面。在形状上它很像压扁了的单叶双曲旋转面。故旋转的极小曲面是悬链面。将平面上曲线（，）绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为，我们已知。
8、若，则有，，23，，常数，（若，，，此时旋转曲面为平面。），，，，故得。23法曲率的最值的特征值性质考虑法曲率的最值和最值方向的特征值、特征向量性质。令，，则有，，23因此，最大值、最小值问题转化为讨论在条件下的最大值、最小值问题。因为是有界闭集，在上连续，所以在上存在最大值和最小值.存在，使得。记。对任意的实数及都有，，展开计算，得，，，对时，有，令，得；
