法曲率最值的直接求法

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1、第33卷第4期吉首大学学报(自然科学版)Vol.33No.42012年7月JournalofJishouUniversity(NaturalScienceEdition)Jul.2012文章编号:10072985(2012)04001105∗法曲率最值的直接求法邢家省(北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191)摘要:考虑曲面上法曲率最值和最值方向的直接求法问题,给出了直接的导出方法,并得到了它是特征值、特征向量的性质.关键词:法曲率的最值;最值方向;特征值;特征向量中图分类号:O186.11文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.

2、10072985.2012.04.003对曲面上法曲率最值的研究,一般是通过曲面上的垂直和共扼的方向———主方向,再运用欧拉公式证[12]明主方向上的法曲率分别是最大值和最小值,进而引入高斯曲率和平均曲率及其计算公式.这种方法不直接,引入与转换过程较长.笔者发现,可以有更直接的方法得到法曲率最值并取到最值方向,且得到它是对应的特征值和特征向量的性质.1法曲率的最大值、最小值的直接求法[1]曲面Σ:r=r(u,v)上一点P沿一方向(d)=du∶dv上的法曲率kn为22ⅡL(du)+2Mdudv+N(dv)kn==22.(1)ⅠE(du)+2Fdudv+G(dv)du现考虑法曲率kn的最大值

3、、最小值的求法问题.设λ=,则有dv2Lλ+2Mλ+Nkn=.(2)2Eλ+2Fλ+G这样一来,所求问题(1)转化为求二次分式的极值问题.将(2)式化为一元二次方程Lλ222+2Mλ+N-kn(Eλ+2Fλ+G)=0,即(L-knE)λ+2(M-knF)λ+N-knG=0.此二次方程有根,当且仅当(M-k)2nF-(L-knE)(N-knG)≥0,2)k2(LG-2MF+NE)k(LN-M2)≥0.-(EG-Fn+n-设k1,k2(k1≤k2)是方程2)k2(LG-2MF+NE)k(LN-M2)=0(3)-(EG-Fn+n-的2个根,则有k1≤kn≤k2,于是kn的最大值、最小值分别为k

4、2,k1,且由方程(3)所解出.由韦达定理,可得2LN-MLG-2MF+NEk1k2=2,k1+k2=2.EG-FEG-F∗收稿日期:20120530基金项目:国家自然科学基金资助项目(11171013)作者简介:邢家省(1964),男,河南泌阳人,北京航空航天大学数学与系统科学学院副教授,博士,主要从事偏微分几何、微分几何研究.12吉首大学学报(自然科学版)第33卷2Lλ+2Mλ+N将kn=k1,k2代入kn=2,解出2个根λ2,λ1,就得到使kn达到最大值、最小值的方向.Eλ+2Fλ+G方程(3)的判别式为22F22)(LN-M2)=[(NE-LG)-(ME-LF)]Δ=(LG-2M

5、F+NE)-4(EG-F+E2)4(EG-F(ME-LF)22≥0,E故当且仅当NE-LG=ME-LF=0时,判别式为0,即LMN==.(4)EFG满足(4)式的点称为脐点,否则称为非脐点.所以,在一个非脐点,判别式Δ>0,方程(3)总有2个不相等的实根,曲面在这一点总有2个不相等的法曲率,且分别是法曲率的最大值和最小值.在脐点,若令L=λE,M=λF,N=λG,则任意方向的法曲率2kn=λ常数,而方程(3)变为(kn-λ)=0,但这个关系无非表示任意方向的法曲率相等.2高斯(Gauss)曲率、平均曲率设k2,k1分别为曲面上一点处法曲率的最大值、最小值,则将它们的乘积k1k2称为曲面在

6、这一点的高斯(Gauss)曲率,通常以K表示,K=k1k2,它描述了曲面在一点处总的弯曲程度,又称为总曲率或全曲11率;它们的平均数(k1+k2)称为曲面在这一点的平均曲率,通常以H表示,H=(k1+k2),它描述了22曲面在一点处的平均弯曲程度,又称为中曲率.由方程(3)及韦达定理,得2LN-M1LG-2MF+NE,H=(k)=,k2K=k1k2=21+k22)n-2Hkn+K=0.EG-F22(EG-F例1求正螺面r=(ucosv,usinv,bv)的主曲率、总曲率和全曲率.解直接计算得到螺面的第一基本形式和第二基本形式分别为Ⅰ=(du)222)(dv)2,Ⅱ=+(u+b-2bdud

7、v,由此便知正螺面上所有点都是非脐点,于是其上每点处都有2个不相等的法曲率.将基本量代22u+bⅡ2Mdudv1入法曲率的计算公式,得到k,因为

8、2Mdudv

9、≤

10、M

11、[E(du)22],n==22+G(dv)ⅠE(du)+G(dv)EG11所以-

12、M

13、≤kn≤

14、M

15、,从而正螺面上法曲率的最大值、最小值、总曲率和平均曲率分别为EGEG22bb-Mb1k2=(u22),k1=-(u22),K=k1k2==-(u22)2,H=(k1+k