有理函数积分法(2)

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1、《数学分析I》第21讲教案第21讲理函数的不定积分授课题目有理函数的不定积分教学内容1.有理真分式的部分分式分解；2.有理函数的不定积分；3.三角函数有理式的不定积分；4.某些无理根式的不定积分.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好掌握有理函数的不定积分，知道三角函数有理式的不定积分方法；掌握某些无理根式的不定积分．教学重点及难点教学重点：有理函数的不定积分，某些无理根式的不定积分；教学难点：三角函数有理式的不定积分.教学方法及教材处理提示(1)有理真分式的部分分式分解方法一定要结合实际例

2、题讲授，采用老师一边讲解，学生一边练习的授课方法.(2)有理函数的不定积分方法的核心是部分分式分解，应适当布置有理函数的不定积分课外习题。(3)布置一些三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的课外习题，让学生通过作业来理解和掌握此积分方法．作业布置作业内容：教材:1（1，2，3，5），2(1,4,5,6).讲授内容一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为，　　(1)其中，为非负整数，与都是常数，且，．若，则称它为真分式；若，则称它为假分式．由多项式

3、的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)：第一步对分母在实系数内作标准分解：，（2）其中均为自然数，而且第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如的因式，它所对应的部分分式是5《数学分析I》第21讲

4、教案对每个形如的因式，它所对应的部分分式是把所有部分分式加起来，使之等于．(至此，部分分式中的常数系数尚为待定的.)第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母，而其分子亦应与原分子恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1对作部分分式分解解按上述步骤依次执行如下：部分分式分解的待定形式为（3）用乘上式两边，得一恒等式++（4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：求出它的解：，并代人(3)式，这

5、便完成了的部分分式分解：上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将的某些特定值(如的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用和代人(4)式，立即求得，于是（4）式简化成为5《数学分析I》第21讲教案为继续求得，还可用的三个简单值代人上式，如令，相应得到由此易得．这就同样确定了所有待定系数．一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：；　　　．对于，已知对于

6、，只要作适当换元(令)，便化为　（5）其中．当时，（5）式右边两个不定积分分别为，（6）当时，（5）式右边第一个不定积分为.对于第二个不定积分，记可用分部积分法导出递推公式如下：经整理得到（7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算，这已由(6)式给出.把所有这些局部结果代回(5)式，并令，就完成了对不定积分（II）的计算．5《数学分析I》第21讲教案例2求解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为现分别计算部分分式的不定积分如下：由递推公式（7）,求得其中于是得到二

7、、三角函数有理式的不定积分是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换，可把它化为有理函数的不定积分。这是因为（8）(9)所以．例3求解令，将(8)、(9)、代人被积表达式，5《数学分析I》第21讲教案例4求解：由于,故令,就有三、某些无理根式的不定积分1.型不定积分．对此只需令，就可化为有理函数的不定积分．例5求.解：令则有例6求解：由于，故令，则有5