有理函数和三角函数有理式的积分法

《有理函数和三角函数有理式的积分法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、141§3-7阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法）§3-7阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分.在那里，因为被积函数都很特殊，所以用“拼凑的方法”就求出了它们的积分.这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分.当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了.1.有理函数的积分法有理函数的积分[其中和都是多项式]总可以积出来，即可把它表示成初等函数.积分方法的要点是：第一，若有理函

2、数中，分子的次数不低于分母的次数，则称它为假分式.在这种情形下，就用多项式除法（见下面例27），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即[其中分子的次数低于分母的次数]于是，右端第一项是多项式的积分(用分项积分法可以积出来)，所以就变成求有理函数真分式的积分.关于多项式除法，请看下面的例题.例27例如求有理函数假分式的积分首先像做整数除法那样，做多项式除法：(余式)(被除式)（除式）（商式）由此可得其次再逐项积分，即141141§3-7阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法）这样就变成求(右端最后一

3、个)有理函数真分式的积分.第二，对于真分式，先把分母上的多项式分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积(根据代数基本定理，这是可能的).然后用待定系数法(或拼凑方法)把化成不超出下面这些“最简分式”的和：(和为正整数)(分子比分母上的基因式低一次)这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分.我们用例子来说明上述方法.⑴分母为一次重因式的真分式的积分法例28例如求，可令将右端通分，并比较两端分子，即，则得三元线性方程组，解得于是得因此，【注1】上面求待定系数的方法是比较两端的同次项

4、系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据，则第一步，让，得；第二步，在两端关于求导数，得.再令，得；第三步，在两端关于求导数，则得，即.【注2】把真分式化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法:,141141§3-7阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法）(你看懂了吗?)⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求，可令（和为待定系数）然后根据恒等式，求出待定系数和.于是，例29求.解设(为待定常数)则得，即比较两端常数项和的系数，则得线性方程组解得(求的另一个方法见下注).因此，从而得【注

5、】在式中，让，则得，所以；再让，则得，所以.⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法例如[注意,分母没有实根]，141141§3-7阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法）(套用积分公式)(套用前一题的结果).⑷分母为二次重因式的真分式的积分法例30例如求积分.若用待定系数法，就令若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，；第二步，于是，其中右端第一个积分而第二个积分[套积分公式⒇]⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法141141§3-7阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法）例

6、如，求时，可令然后根据恒等式求出待定系数、和.于是，(注意没有实根,即)2.三角函数有理式的积分法所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数与经过有限次的有理运算(加、减、乘、除)得到的函数，记成.下面介绍的是形如积分的积分法.例如积分，，等.实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分.这里介绍的是一般方法.你在做题时，还是要具体问题具体分析，未必就一定要用这里介绍的方法（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）.令(称它为半角替换或万能替换)，则于是，141141§3-7阅读（有理函

7、数和三角函数有理式的积分法）这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分.在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单.例如当时，令；当时，令；当时，令.习题1.求下面的原函数：⑴；⑵；⑶；⑷.答案：⑴；⑵；⑶；⑷.2.求下面的原函数：⑴；⑵；⑶.答案：⑴；⑵；⑶.3.求下面的原函数：⑴；⑵；⑶.答案：⑴；⑵；⑶.4.根据提示，请把下面的演算做到底：⑴⑵⑶⑷141141§3-7阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法）答案：⑴；⑵；⑶；⑷.141